Encontre a área (usando integrais definidas) da região limitada pelas curvas dadas. Esboce o gráfico.
e
;
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a área da região limitada pelas curvas
,
e
usando integrais definidas. Para isso, vamos precisar identificar onde essas curvas se intersectam e determinar qual delas está acima ou abaixo no intervalo considerado.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre
e
. Igualando as duas equações:
Essa equação não é fácil de resolver algebricamente, então vamos tentar encontrar os valores de
que satisfazem essa igualdade. Testando
:
Então,
é um ponto de interseção.
Passo 3
Agora, vamos verificar se há outro ponto de interseção. Testando
:
Como não são iguais,
não é ponto de interseção entre
e
. Portanto, o único ponto de interseção é em
.
Passo 4
Vamos esboçar o gráfico para visualizar melhor a região. A curva
é uma exponencial que decresce,
é uma reta crescente, e
é uma linha vertical. A região limitada está entre
e
, onde
está acima de
.
Passo 5
Para encontrar a área dessa região, vamos usar a integral definida da diferença das duas funções no intervalo de
a
. A fórmula fica assim:
Passo 6
Vamos calcular essa integral passo a passo.
Primeiro, integramos
:
Depois, integramos
:
Subtraindo as integrais:
Passo 7
Agora, avaliamos nos limites de integração.
Para
:
Para
:
Calculando a diferença:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas é
unidades quadradas.
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Determine se
e
são funções pares ou impares.
Encontre a área (usando integrais definidas) da região limitada pelas curvas dadas. Esboce o gráfico.
e
;
Calcule as seguintes integrais definidas:
Calcule as seguintes integrais definidas: