Encontre a área (usando integrais definidas) da região limitada pelas curvas dadas. Esboce o gráfico.
e

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a área da região limitada pelas curvas , e usando integrais definidas. Para isso, vamos precisar identificar onde essas curvas se intersectam e determinar qual delas está acima ou abaixo no intervalo considerado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre e . Igualando as duas equações:
Essa equação não é fácil de resolver algebricamente, então vamos tentar encontrar os valores de que satisfazem essa igualdade. Testando :
Então, é um ponto de interseção.

Passo 3

Agora, vamos verificar se há outro ponto de interseção. Testando :
Como não são iguais, não é ponto de interseção entre e . Portanto, o único ponto de interseção é em .

Passo 4

Vamos esboçar o gráfico para visualizar melhor a região. A curva é uma exponencial que decresce, é uma reta crescente, e é uma linha vertical. A região limitada está entre e , onde está acima de .

Passo 5

Para encontrar a área dessa região, vamos usar a integral definida da diferença das duas funções no intervalo de a . A fórmula fica assim:
Á

Passo 6

Vamos calcular essa integral passo a passo.
Primeiro, integramos :
Depois, integramos :
Subtraindo as integrais:
Á

Passo 7

Agora, avaliamos nos limites de integração.
Para :
Para :
Calculando a diferença:
Á

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é unidades quadradas.

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Determine se e são funções pares ou impares.
Encontre a área (usando integrais definidas) da região limitada pelas curvas dadas. Esboce o gráfico.
e ;
Calcule as seguintes integrais definidas:
Calcule as seguintes integrais definidas: