Calcule as seguintes integrais definidas: integral0^2(e^2 x+1+e^-2 x) d x Resposta: 12(e^5-e-e^4+1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: . Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais, especificamente integrando funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar separar a integral em partes mais simples e usar as regras de integração para exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes, já que temos a soma de duas funções dentro dela. Isso facilita o processo de integração. Então, temos:
integral0^2e^2 x+1 d x + integral0^2e^-2 x d x
Assim, trabalharemos com cada integral individualmente.

Passo 3

Vamos integrar a primeira parte: integral e^2x + 1 dx = 12e^2x + 1 + C . Para isso, usamos a regra de integração de funções exponenciais do tipo , cuja integral é , onde é uma constante e é a constante de integração. Aqui, . Então:

Passo 4

Agora, vamos integrar a segunda parte: integral e^-2x dx = 1-2e^-2x + C = -12e^-2x + C . Usando a mesma regra das exponenciais, onde agora :

Passo 5

Com as integrais encontradas, vamos combinar os resultados e calcular os limites de integração de 0 a 2:
[12e^2x + 1]0^2 + [-12e^-2x]0^2
Isso significa que vamos substituir por 2 e depois por 0 em cada termo e subtrair.

Passo 6

Fazendo as substituições:
Para 12e^2(2) + 1 - 12e^2(0) + 1 = 12e^5 - 12e^1 :
-12e^-2(2) + 12e^-2(0) = -12e^-4 + 12e^0
Para 12e^5 - 12e - 12e^-4 + 12 :
Lembrando que , então juntando tudo:

Resposta

A integral definida é igual a .

Exercícios relacionados

Calcule as integrais indefinidas: integral(3 x^2+5+raizx) d x Resposta: x^3+5 x+23 x^3 / 2+c
Calcule as integrais indefinidas: integral a^x d x, a>0, a neq 1 Resposta: a^xln a+c
A função f(x) = { 1/(x-3) + 8, se x ≠ 3; 5, se x = 3 } é contínua em x0 = -9.
Não existe valor de L que torne a função f(x) = { 1/(x-3) + 8, se x ≠ 3; L, se x = 3 } contínua em x0 = 3.