Calcule as seguintes integrais definidas.
a) integral2 pi^5 pi cos ^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos trabalhando com a matéria de Cálculo Integral, especificamente com integrais de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que simplifica o quadrado do cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da identidade trigonométrica que transforma cos^2 x = 1 + cos(2x)2 em uma expressão mais fácil de integrar. A identidade é:
Essa fórmula é conhecida como a identidade de redução de potência para o cosseno.

Passo 3

Agora, substituímos integral2 pi^5 pi cos^2 x , dx = integral2 pi^5 pi 1 + cos(2x)2 , dx pela identidade na integral:

Passo 4

Podemos separar a integral em duas partes:
integral2 pi^5 pi 12 , dx + integral2 pi^5 pi cos(2x)2 , dx
Isso facilita a integração, já que agora temos duas integrais mais simples.

Passo 5

Integrando a primeira parte integral 12 , dx = 12 x :
integral cos(2x)2 , dx = 12 cdot sin(2x)2 = sin(2x)4
Integrando a segunda parte :

Passo 6

Agora, somamos as duas integrais:
12 x + sin(2x)4 + C
Como estamos calculando uma integral definida, vamos avaliar entre os limites [ 12 x + sin(2x)4 ]2pi^5pi e :

Passo 7

Calculando no limite superior 12 cdot 5pi + sin(10pi)4 = 5pi2 + 04 = 5pi2 :
12 cdot 2pi + sin(4pi)4 = pi + 04 = pi
Calculando no limite inferior :

Passo 8

Subtraindo os resultados:
5pi2 - pi = 5pi2 - 2pi2 = 3pi2

Resposta

O valor da integral é .

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