Encontre a área (usando integrais definidas) da região limitada pelas curvas dadas. Esboce o gráfico.
e
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a área da região limitada pelas curvas
e
usando integrais definidas. Para isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo integral, especialmente como calcular áreas entre curvas. Vamos passo a passo para facilitar!
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir onde as duas curvas se encontram, ou seja, encontrar os pontos de interseção delas. Isso nos ajuda a definir os limites da nossa integral.
Vamos resolver essa equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções:
Portanto, as curvas se intersectam nos pontos
e
.
Passo 3
Agora, precisamos saber qual das duas curvas está acima da outra nesse intervalo
. Vamos escolher alguns valores de
entre -1 e 2 e comparar os valores de
.
Por exemplo, para
:
Aqui,
está acima.
Vamos verificar para
:
Novamente,
está acima.
Portanto, nesse intervalo, a linha
está acima da parábola
.
Passo 4
Para encontrar a área entre as curvas, usamos a seguinte fórmula:
Aqui,
e
. A função de cima é
e a função de baixo é
.
Passo 5
Vamos montar a integral:
Simplificando dentro do parênteses:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
Passo 7
Vamos avaliar essa antiderivada nos limites de -1 a 2:
Calculando cada parte:
Para
:
Para
:
Resposta
Subtraindo os resultados:
Então, a área da região limitada pelas curvas
e
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Em que direção a derivada direcional de
em
é igual a zero?
Calcule as seguintes integrais definidas:
Suponha que
esteja definida implicitamente em função de
e
pela equação
Pondo
, determine
e
Decida sobre a convergência das séries: