Encontre a área (usando integrais definidas) da região limitada pelas curvas dadas. Esboce o gráfico.
e ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a área da região limitada pelas curvas e usando integrais definidas. Para isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo integral, especialmente como calcular áreas entre curvas. Vamos passo a passo para facilitar!

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir onde as duas curvas se encontram, ou seja, encontrar os pontos de interseção delas. Isso nos ajuda a definir os limites da nossa integral.
Vamos resolver essa equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções:
Portanto, as curvas se intersectam nos pontos e .

Passo 3

Agora, precisamos saber qual das duas curvas está acima da outra nesse intervalo . Vamos escolher alguns valores de entre -1 e 2 e comparar os valores de .
Por exemplo, para :
Aqui, está acima.
Vamos verificar para :
Novamente, está acima.
Portanto, nesse intervalo, a linha está acima da parábola .

Passo 4

Para encontrar a área entre as curvas, usamos a seguinte fórmula:
Áçãçã
Aqui, e . A função de cima é e a função de baixo é .

Passo 5

Vamos montar a integral:
Á
Simplificando dentro do parênteses:
Á

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:

Passo 7

Vamos avaliar essa antiderivada nos limites de -1 a 2:
Á
Calculando cada parte:
Para :
Para :

Resposta

Subtraindo os resultados:
Á
Então, a área da região limitada pelas curvas e é unidades de área.

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