Encontre a área (usando integrais definidas) da região limitada pelas curvas dadas. Esboce o gráfico.
e o eixo x , de 0 até
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa encontrar a área da região que está entre a curva
e o eixo
, no intervalo de
até
. Para isso, vamos usar integrais definidas, que fazem parte da matéria de Cálculo Integral. Vamos precisar entender o que é área sob a curva e como configurar a integral para calcular essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o gráfico da função
entre
e
. A curva do seno começa em
, sobe até
em
, desce até
em
e volta a
em
. O eixo
é simplesmente a linha horizontal onde
. A região que queremos é a área entre a curva e o eixo
nesse intervalo.
Passo 3
Para encontrar a área sob a curva usando integrais definidas, usamos a seguinte fórmula:
Aqui,
é a função
, e os limites de integração são
e
. Isso significa que vamos integrar
de
a
para encontrar a área total.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral:
A antiderivada de
é
, então:
Sabemos que
e
, então:
No entanto, percebemos que a área abaixo do eixo
é negativa, mas queremos a área total, então vamos calcular o valor absoluto das áreas das partes positivas e negativas e somá-las.
Vamos dividir o intervalo em duas partes: de
a
onde
é positivo, e de
a
onde
é negativo.
Para
a
:
Para
a
:
Como a segunda parte é negativa, mas queremos a área, pegamos o valor absoluto:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas
e o eixo
, de
a
, é igual a
unidades de área.
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Calcule as seguintes integrais definidas utilizando a técnica que achar mais conveniente:
.
Calcule as seguintes integrais definidas:
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.
Encontre
e
para a função
.