Encontre a área (usando integrais definidas) da região limitada pelas curvas dadas. Esboce o gráfico.
e o eixo x , de 0 até ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa encontrar a área da região que está entre a curva e o eixo , no intervalo de até . Para isso, vamos usar integrais definidas, que fazem parte da matéria de Cálculo Integral. Vamos precisar entender o que é área sob a curva e como configurar a integral para calcular essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o gráfico da função entre e . A curva do seno começa em , sobe até em , desce até em e volta a em . O eixo é simplesmente a linha horizontal onde . A região que queremos é a área entre a curva e o eixo nesse intervalo.

Passo 3

Para encontrar a área sob a curva usando integrais definidas, usamos a seguinte fórmula:
Á
Aqui, é a função , e os limites de integração são e . Isso significa que vamos integrar de a para encontrar a área total.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral:
A antiderivada de é , então:
Sabemos que e , então:
No entanto, percebemos que a área abaixo do eixo é negativa, mas queremos a área total, então vamos calcular o valor absoluto das áreas das partes positivas e negativas e somá-las.
Vamos dividir o intervalo em duas partes: de a onde é positivo, e de a onde é negativo.
Para a :
Para a :
Como a segunda parte é negativa, mas queremos a área, pegamos o valor absoluto:
Á

Resposta

A área da região limitada pelas curvas e o eixo , de a , é igual a unidades de área.

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Calcule as seguintes integrais definidas utilizando a técnica que achar mais conveniente: .
Calcule as seguintes integrais definidas:
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Encontre e para a função .