Calcule as seguintes integrais definidas, justificando passo a passo:
integral1^2(raizx+3x^5) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral definida de igual a 1 até 2 da função . Isso faz parte do estudo de cálculo integral, onde vamos calcular a área sob a curva dessa função entre esses dois pontos. Pra resolver, vamos precisar das regras básicas de integração e saber como integrar cada termo separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes, porque é mais fácil calcular cada termo individualmente. Ou seja:
integral1^2(raizx + 3x^5) dx = integral1^2 raizx , dx + integral1^2 3x^5 , dx

Passo 3

Agora, vamos integrar cada parte:
  1. Integrando integral x^n dx = x^n+1n+1 + C :
    Sabemos que integral x^1/2 dx = x^3/23/2 = 23 x^3/2 é o mesmo que integral 3x^-5 dx = 3 cdot x^-4-4 = -34 x^-4 = -34 1x^4 . A regra de potência para integração diz que:
Aplicando isso:
  1. Integrando :
    Primeiro, reescrevemos como . Aplicando a regra de potência:

Passo 4

Agora, vamos avaliar as integrais entre os limites de 1 e 2:
  1. Para 23 x^3/2 |1^2 = 23 (2)^3/2 - 23 (1)^3/2 :
= 23 cdot 2 raiz2 - 23 cdot 1 = 4 raiz23 - 23
Sabendo que -34 1x^4 |1^2 = -34 ( 12^4 - 11^4 ) = -34 ( 116 - 1 ) = -34 ( -1516 ) = 4564 e :
  1. Para :

Passo 5

Finalmente, somamos os resultados das duas integrais:
4 raiz23 - 23 + 4564
Para simplificar, podemos transformar todos os termos em frações com denominador 192:
4 raiz23 = 256 raiz2192, 23 = 128192, 4564 = 135192
Somando:
256 raiz2192 - 128192 + 135192 = 256 raiz2 + 7192

Resposta

A integral definida é igual a .

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