Calcule as seguintes integrais definidas utilizando a técnica que achar mais conveniente: integral-pi^0(sin (3 x) d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de sin(3x) de -pi até 0. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, onde aprendemos a encontrar áreas sob curvas usando integrais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral definida e como encontrar a antiderivada de funções trigonométricas como o seno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral definida. Basicamente, ela calcula a área entre a curva da função e o eixo x, entre dois pontos específicos, que nesse caso são -pi e 0. A integral definida é representada por:
integrala^b f(x),dx
Onde a e b são os limites de integração.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a antiderivada de sin(3x). A antiderivada é uma função cuja derivada é a função original. Para funções trigonométricas, temos algumas regras. Sabemos que:
ddx (-cos(3x)) = 3sin(3x)
Então, para encontrar a antiderivada de sin(3x), precisamos ajustar o coeficiente. Dividimos por 3:
integral sin(3x),dx = -13cos(3x) + C
Onde C é a constante de integração, que não precisamos considerar em integrais definidas.

Passo 4

Agora que temos a antiderivada, aplicamos os limites de integração. Substituímos x por 0 e por -pi na antiderivada e fazemos a diferença:
[-13cos(3x)]-pi^0 = (-13cos(0)) - (-13cos(-3pi))
Lembrando que cos(-theta) = cos(theta), então cos(-3pi) = cos(3pi).

Passo 5

Vamos calcular os valores:
cos(0) = 1
cos(3pi) = cos(pi) = -1 (pois 3pi é um múéúí
Substituindo na expressão:
-13(1) - (-13(-1)) = -13 - 13 = -23

Resposta

Portanto, o valor da integral definida é -23.

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