Calcule as seguintes integrais definidas utilizando a técnica que achar mais conveniente:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de
de
até
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, onde aprendemos a encontrar áreas sob curvas usando integrais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral definida e como encontrar a antiderivada de funções trigonométricas como o seno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral definida. Basicamente, ela calcula a área entre a curva da função e o eixo x, entre dois pontos específicos, que nesse caso são
e
. A integral definida é representada por:
Onde
e
são os limites de integração.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a antiderivada de
. A antiderivada é uma função cuja derivada é a função original. Para funções trigonométricas, temos algumas regras. Sabemos que:
Então, para encontrar a antiderivada de
, precisamos ajustar o coeficiente. Dividimos por 3:
Onde
é a constante de integração, que não precisamos considerar em integrais definidas.
Passo 4
Agora que temos a antiderivada, aplicamos os limites de integração. Substituímos
por
e por
na antiderivada e fazemos a diferença:
Lembrando que
, então
.
Passo 5
Vamos calcular os valores:
Substituindo na expressão:
Resposta
Portanto, o valor da integral definida é
.