Calcule as seguintes integrais definidas utilizando a técnica que achar mais conveniente: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de de até . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, onde aprendemos a encontrar áreas sob curvas usando integrais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral definida e como encontrar a antiderivada de funções trigonométricas como o seno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral definida. Basicamente, ela calcula a área entre a curva da função e o eixo x, entre dois pontos específicos, que nesse caso são e . A integral definida é representada por:
Onde e são os limites de integração.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a antiderivada de . A antiderivada é uma função cuja derivada é a função original. Para funções trigonométricas, temos algumas regras. Sabemos que:
Então, para encontrar a antiderivada de , precisamos ajustar o coeficiente. Dividimos por 3:
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar em integrais definidas.

Passo 4

Agora que temos a antiderivada, aplicamos os limites de integração. Substituímos por e por na antiderivada e fazemos a diferença:
Lembrando que , então .

Passo 5

Vamos calcular os valores:
éúí
Substituindo na expressão:

Resposta

Portanto, o valor da integral definida é .

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Escreva a soma de Riemann das seguintes funções nos intervalos indicados, usando a quantidade de subintervalos na partição considerada. .
Sejam , de classe e um domínio simplesmente conexo. Mostre que se
então e diferem por um campo gradiente, isto é, existe uma função escalar diferenciável tal que
Calcule as seguintes integrais definidas utilizando a técnica que achar mais conveniente: .
Calcule as seguintes integrais definidas utilizando a técnica que achar mais conveniente: .