Calcule as seguintes integrais definidas utilizando a técnica que achar mais conveniente: integral0^1(3^x e^x) d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral definida de de 0 a 1. Esse tipo de problema está na área de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo exponenciais. Para resolver isso, vamos usar propriedades das funções exponenciais para simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer número elevado a uma potência pode ser escrito como uma exponencial com base 3^x = e^x ln 3 . Ou seja, pode ser reescrito como . Isso porque . Então, substituindo na integral:

Passo 3

Agora, substituindo na integral original:
integral0^1 3^x e^x , dx = integral0^1 e^x ln 3 cdot e^x , dx
Como as exponenciais com a mesma base se multiplicam somando os expoentes, podemos simplificar:
e^x ln 3 cdot e^x = e^x (ln 3 + 1)
Então, a integral fica:
integral0^1 e^x (ln 3 + 1) , dx

Passo 4

Agora, vamos integrar a função integral e^k x , dx = 1k e^k x + C , onde é uma constante. A integral de em relação a é:
No nosso caso, .

Passo 5

Aplicando essa fórmula à nossa integral:
integral0^1 e^x (ln 3 + 1) , dx = 1ln 3 + 1 e^x (ln 3 + 1) |0^1
Isso significa que vamos avaliar a função nos limites de 0 a 1 e subtrair os resultados.

Passo 6

Calculando nos limites:
Para 1ln 3 + 1 e^1 (ln 3 + 1) = 1ln 3 + 1 e^ln 3 + 1 = e^ln 3 cdot e^1ln 3 + 1 = 3eln 3 + 1 :
1ln 3 + 1 e^0 (ln 3 + 1) = 1ln 3 + 1 e^0 = 1ln 3 + 1 cdot 1 = 1ln 3 + 1
Para 3eln 3 + 1 - 1ln 3 + 1 = 3e - 1ln 3 + 1 :
Subtraindo:

Resposta

A integral vale:
3e - 11 + ln 3

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