Sejam , de classe e um domínio simplesmente conexo. Mostre que se
então e diferem por um campo gradiente, isto é, existe uma função escalar diferenciável tal que
Passo 1
Vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos dois campos vetoriais e definidos em um domínio simplesmente conexo . Ambos são de classe , ou seja, possuem derivadas contínuas até a segunda ordem. A condição dada é que as rotações desses campos são iguais em todo ponto de :
Nosso objetivo é mostrar que existe uma função escalar diferenciável tal que:
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especialmente relacionados ao teorema fundamental do cálculo vetorial e a condição de campos conservativos.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a diferença entre os dois campos vetoriais e . Vamos definir um novo campo vetorial :
Nosso objetivo agora é mostrar que pode ser representado como o gradiente de alguma funç��o escalar , ou seja, .
Passo 3
Agora, vamos calcular a rotação do campo vetorial :
De acordo com o enunciado, sabemos que . Substituindo essa igualdade na expressão acima, temos:
Isso significa que o campo vetorial não possui rotação, ou seja, é um campo conservativo.
Passo 4
Em um domínio simplesmente conexo como , se um campo vetorial é conservativo (isto é, sua rotação é zero) e de classe , então existe uma função escalar tal que:
Substituindo nessa igualdade, obtemos:
Resposta
Portanto, existe uma função escalar diferenciável tal que: