Sejam , de classe e um domínio simplesmente conexo. Mostre que se
então e diferem por um campo gradiente, isto é, existe uma função escalar diferenciável tal que

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos dois campos vetoriais e definidos em um domínio simplesmente conexo . Ambos são de classe , ou seja, possuem derivadas contínuas até a segunda ordem. A condição dada é que as rotações desses campos são iguais em todo ponto de :
Nosso objetivo é mostrar que existe uma função escalar diferenciável tal que:
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especialmente relacionados ao teorema fundamental do cálculo vetorial e a condição de campos conservativos.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a diferença entre os dois campos vetoriais e . Vamos definir um novo campo vetorial :
Nosso objetivo agora é mostrar que pode ser representado como o gradiente de alguma funç��o escalar , ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos calcular a rotação do campo vetorial :
De acordo com o enunciado, sabemos que . Substituindo essa igualdade na expressão acima, temos:
Isso significa que o campo vetorial não possui rotação, ou seja, é um campo conservativo.

Passo 4

Em um domínio simplesmente conexo como , se um campo vetorial é conservativo (isto é, sua rotação é zero) e de classe , então existe uma função escalar tal que:
Substituindo nessa igualdade, obtemos:

Resposta

Portanto, existe uma função escalar diferenciável tal que:

Exercícios relacionados

Sejam e , (S), dois conjuntos. Quais, das relações abaixo, caracteriza uma função? Justifique sua resposta!
a) , onde







(s)

b) , onde
ð




ð
D
(S)
c) , onde











Uma função
é dita radial se existir uma função
tal que
(b) Se uma função possuir derivadas parciais de segunda ordem, define-se o laplaciano de , e denota-se por
que também se escreve
Se for de classe , expressar o laplaciano de uma função radial em termos de e nos seguintes casos:
i. No
Escreva a soma de Riemann das seguintes funções nos intervalos indicados, usando a quantidade de subintervalos na partição considerada. .
Calcule as seguintes integrais definidas utilizando a técnica que achar mais conveniente: .