Calcule as seguintes integrais definidas utilizando a técnica que achar mais conveniente: integral2^3 11-x^2 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral2^3 11-x^2 , dx. Esse exercício está dentro do conteúdo de cálculo integral, especificamente sobre técnicas de integração. Para resolver, vamos precisar usar frações parciais, que são uma técnica útil para integrar funções racionais.

Passo 2

Primeiro, observe que o denominador da função é 1 - x^2. Podemos fatorar isso para facilitar a integração:
1 - x^2 = (1 - x)(1 + x)

Passo 3

Agora, reescrevemos a fração 11 - x^2 usando frações parciais. Queremos encontrar constantes A e B tais que:
1(1 - x)(1 + x) = A1 - x + B1 + x

Passo 4

Para encontrar A e B, multiplicamos ambos os lados por (1 - x)(1 + x):
1 = A(1 + x) + B(1 - x)
Agora, vamos resolver para A e B. Podemos escolher valores de x que simplifiquem a equação:
  • Se x = 1:
1 = A(1 + 1) + B(1 - 1) Rightarrow 1 = 2A Rightarrow A = 12
  • Se x = -1:
1 = A(1 - 1) + B(1 + 1) Rightarrow 1 = 2B Rightarrow B = 12

Passo 5

Com isso, nossa fração parcial fica:
11 - x^2 = 1/21 - x + 1/21 + x
Agora, podemos reescrever a integral usando essas frações parciais:
integral2^3 11 - x^2 , dx = 12 integral2^3 11 - x , dx + 12 integral2^3 11 + x , dx

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente. A integral de 11 - x em relação a x é -ln|1 - x|, e a integral de 11 + x é ln|1 + x|. Então:
12 [ -ln|1 - x| ]2^3 + 12 [ ln|1 + x| ]2^3

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração:
Primeiro termo:
-12 [ ln|1 - 3| - ln|1 - 2| ] = -12 [ ln(-2) - ln(-1) ]
Como o logaritmo de números negativos não é definido nos reais, consideramos o módulo:
-12 [ ln 2 - ln 1 ] = -12 (ln 2 - 0) = -12 ln 2
Segundo termo:
12 [ ln(1 + 3) - ln(1 + 2) ] = 12 [ ln 4 - ln 3 ] = 12 (ln 4 - ln 3)

Passo 8

Agora, somamos os dois resultados:
-12 ln 2 + 12 (ln 4 - ln 3)
Simplificando ln 4 como 2 ln 2:
-12 ln 2 + 12 (2 ln 2 - ln 3) = -12 ln 2 + ln 2 - 12 ln 3
= 12 ln 2 - 12 ln 3
= 12 (ln 2 - ln 3) = 12 ln ( 23 )

Resposta

O valor da integral é 12 ln(23).

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