Encontre a área (usando integrais definidas) da região limitada pelas curvas dadas. Esboce o gráfico.
e
;
Passo 1
Beleza, bora resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que fica entre as curvas
e
usando integrais definidas. Isso envolve entender um pouquinho de cálculo integral e como as curvas se comportam no gráfico. Então, vamos precisar encontrar os pontos de interseção das curvas, definir os limites de integração e montar a integral para calcular a área.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se encontram. Isso significa resolver o sistema de equações:
Vamos resolver uma das equações para uma das variáveis e substituir na outra. Vamos isolar
na primeira equação:
Agora, substituímos isso na segunda equação:
Isso nos dá as soluções:
Agora, substituímos esses valores de
na expressão
para encontrar os valores correspondentes de
:
Para
:
Para
:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Agora que sabemos onde as curvas se encontram, vamos entender qual curva está por cima da outra no intervalo de
a
. Vamos analisar as funções
e
(rearranjando a segunda equação para
).
Para
:
Aqui,
está à direita de
. Isso significa que, para
, a curva
está à direita e
está à esquerda.
Passo 4
Para encontrar a área entre essas duas curvas, vamos integrar a diferença entre as funções da direita e da esquerda em relação a
, já que nossas funções estão expressas em termos de
como funções de
.
A fórmula para a área
é:
Substituindo as funções e os limites:
Passo 5
Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, separamos a integral:
Calculando a primeira integral:
Calculando a segunda integral:
Portanto, a área fica:
Passo 6
Agora, vamos avaliar essas expressões nos limites de 0 a 2.
Para a primeira parte:
Para a segunda parte:
Então, a área
é:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas
e
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Encontre
e
para a função
.
Calcule as seguintes integrais definidas utilizando a técnica que achar mais conveniente:
.
Determine se
e
são funções pares ou impares.
Encontre a área (usando integrais definidas) da região limitada pelas curvas dadas. Esboce o gráfico.
e
;