Encontre a área (usando integrais definidas) da região limitada pelas curvas dadas. Esboce o gráfico.
e ;

Passo 1

Beleza, bora resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que fica entre as curvas e usando integrais definidas. Isso envolve entender um pouquinho de cálculo integral e como as curvas se comportam no gráfico. Então, vamos precisar encontrar os pontos de interseção das curvas, definir os limites de integração e montar a integral para calcular a área.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se encontram. Isso significa resolver o sistema de equações:
Vamos resolver uma das equações para uma das variáveis e substituir na outra. Vamos isolar na primeira equação:
Agora, substituímos isso na segunda equação:
Isso nos dá as soluções:
Agora, substituímos esses valores de na expressão para encontrar os valores correspondentes de :
Para :
Para :
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 3

Agora que sabemos onde as curvas se encontram, vamos entender qual curva está por cima da outra no intervalo de a . Vamos analisar as funções e (rearranjando a segunda equação para ).
Para :
Aqui, está à direita de . Isso significa que, para , a curva está à direita e está à esquerda.

Passo 4

Para encontrar a área entre essas duas curvas, vamos integrar a diferença entre as funções da direita e da esquerda em relação a , já que nossas funções estão expressas em termos de como funções de .
A fórmula para a área é:
Substituindo as funções e os limites:

Passo 5

Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, separamos a integral:
Calculando a primeira integral:
Calculando a segunda integral:
Portanto, a área fica:

Passo 6

Agora, vamos avaliar essas expressões nos limites de 0 a 2.
Para a primeira parte:
Para a segunda parte:
Então, a área é:

Resposta

A área da região limitada pelas curvas e é unidades de área.

Exercícios relacionados

Encontre e para a função .
Calcule as seguintes integrais definidas utilizando a técnica que achar mais conveniente: .
Determine se e são funções pares ou impares.
Encontre a área (usando integrais definidas) da região limitada pelas curvas dadas. Esboce o gráfico.
e