Beleza, o exercício pede para calcular a integral dupla . Vamos usar conceitos de cálculo de integrais duplas, como troca da ordem de integração e integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. varia de 0 até e, para cada , varia de até . Para facilitar, vamos trocar a ordem das integrais.
Passo 3
Desenhando a região de integração, percebemos que vai de 0 a e, para cada , vai de 0 a . Assim, podemos reescrever a integral dupla como:
Passo 4
Agora, vamos integrar em relação a . Note que é constante em relação a . A integral interna fica:
Vamos fazer a substituição , então .
Passo 5
Com a substituição, os limites de passam de 0 a (porque quando , e quando , ). A integral fica:
Passo 6
Substituindo de volta na integral dupla, temos:
22018 integral0^pi sin(x) , dx
Agora, vamos integrar em relação a .
Passo 7
A integral de -cos(x) gr|0^pi = -cos(pi) + cos(0) = -(-1) + 1 = 2 é . Avaliando de 0 a :