Calcule as seguintes integrais duplas: (2 / 2018) integral0^raizpi integraly^2^pi raizx cos (y raizx) d x d y.

Passo 1

Beleza, o exercício pede para calcular a integral dupla . Vamos usar conceitos de cálculo de integrais duplas, como troca da ordem de integração e integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. varia de 0 até e, para cada , varia de até . Para facilitar, vamos trocar a ordem das integrais.

Passo 3

Desenhando a região de integração, percebemos que 22018 integral0^pi integral0^raizx raizx cos (y raizx) , dy , dx vai de 0 a e, para cada , vai de 0 a . Assim, podemos reescrever a integral dupla como:

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a integral0^raizx raizx cos (y raizx) , dy . Note que é constante em relação a . A integral interna fica:
Vamos fazer a substituição , então .

Passo 5

Com a substituição, os limites de integral0^x cos(u) , du = sin(u) gr|0^x = sin(x) - sin(0) = sin(x) passam de 0 a (porque quando , e quando , ). A integral fica:

Passo 6

Substituindo de volta na integral dupla, temos:
22018 integral0^pi sin(x) , dx
Agora, vamos integrar em relação a .

Passo 7

A integral de -cos(x) gr|0^pi = -cos(pi) + cos(0) = -(-1) + 1 = 2 é . Avaliando de 0 a :

Passo 8

Multiplicando pelo coeficiente inicial:
22018 times 2 = 42018 = 21009

Resposta

A integral dupla vale .

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