Calcule as seguintes integrais duplas:
, em que
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla , onde a região
é definida por
e
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrais duplas, e vamos precisar entender um pouquinho sobre troca de ordem de integração e substituição para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região
. A condição
significa que, para um dado
entre 0 e 1, o
varia de
até 1. Mas isso pode ser um pouco complicado para integrar na forma atual, então vamos trocar a ordem das integrais.
Passo 3
Para trocar a ordem de integração, precisamos reescrever os limites. Observando que
varia de 0 a 1 e, para cada
,
vai de 0 até
(pois
implica
), podemos reescrever a integral assim:
Passo 4
Agora, observe que não depende de
, então a integral interna em relação a
é simples:
Passo 5
Então, a integral dupla reduz para uma integral simples:
Passo 6
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Seja
, então
, ou seja,
.
Passo 7
Substituindo na integral, temos:
Passo 8
A integral de é
, então:
Passo 9
Voltando à variável original
, substituímos
:
Passo 10
Agora, avaliamos os limites de 0 a 1:
Resposta
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Calcule as seguintes integrais duplas:
.
Calcule as seguintes integrais duplas:
, em que
é o triângulo de vértices
e
.
Calcule as seguintes integrais duplas:
.
Calcule as seguintes integrais duplas:
, em que
é a região limitada pelas parábolas
e
.