Calcule as seguintes integrais duplas: , em que e

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla , onde a região é definida por e . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrais duplas, e vamos precisar entender um pouquinho sobre troca de ordem de integração e substituição para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região . A condição significa que, para um dado entre 0 e 1, o varia de até 1. Mas isso pode ser um pouco complicado para integrar na forma atual, então vamos trocar a ordem das integrais.

Passo 3

Para trocar a ordem de integração, precisamos reescrever os limites. Observando que varia de 0 a 1 e, para cada , vai de 0 até (pois implica ), podemos reescrever a integral assim:

Passo 4

Agora, observe que não depende de , então a integral interna em relação a é simples:

Passo 5

Então, a integral dupla reduz para uma integral simples:

Passo 6

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Seja , então , ou seja, .

Passo 7

Substituindo na integral, temos:

Passo 8

A integral de é , então:

Passo 9

Voltando à variável original , substituímos :

Passo 10

Agora, avaliamos os limites de 0 a 1:

Resposta

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