Calcule as seguintes integrais duplas: integral duplaD sen(x^3) d A, em que D=(x, y) in R^2: raizy <= x <= 1 e 0 <= y <= 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla , onde a região é definida por e . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrais duplas, e vamos precisar entender um pouquinho sobre troca de ordem de integração e substituição para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região . A condição significa que, para um dado entre 0 e 1, o varia de até 1. Mas isso pode ser um pouco complicado para integrar na forma atual, então vamos trocar a ordem das integrais.

Passo 3

Para trocar a ordem de integração, precisamos reescrever os limites. Observando que integralx=0^1 integraly=0^x^2 sen(x^3) dy , dx varia de 0 a 1 e, para cada , vai de 0 até (pois implica ), podemos reescrever a integral assim:

Passo 4

Agora, observe que não depende de integral0^x^2 sen(x^3) dy = sen(x^3) cdot y |0^x^2 = sen(x^3) cdot x^2 , então a integral interna em relação a é simples:

Passo 5

Então, a integral dupla reduz para uma integral simples:

Passo 6

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Seja , então , ou seja, .

Passo 7

Substituindo na integral, temos:

Passo 8

A integral de é 13 ( -cos(u) ) + C = -13 cos(u) + C , então:

Passo 9

Voltando à variável original -13 cos(x^3) + C , substituímos :

Passo 10

Agora, avaliamos os limites de 0 a 1:
[ -13 cos(1^3) ] - [ -13 cos(0^3) ] = -13 cos(1) + 13 cos(0)

Resposta

1 - cos(1)3

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