Calcule as seguintes integrais duplas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é:
Aqui estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integrais duplas. Vamos precisar entender como mudar a ordem de integração e simplificar a integral para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos
indo de 0 a 1 e, para cada
,
vai de
até
. Isso pode ser complicado pra integrar diretamente, então vamos tentar mudar a ordem de integração.
Passo 3
Mudando a ordem, vamos fixar
primeiro. Para um dado
entre 0 e 1,
varia de
(porque
implica
) até
. Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos integrar em relação a
. Como
não depende de
, a integral interna fica:
Passo 5
Agora, a integral dupla se reduz a uma integral simples em
:
Vamos resolver isso expandindo:
A primeira parte é fácil:
Para a segunda parte, usamos integração por partes, onde:
-
⇒ -
⇒
Então,
Passo 6
Juntando tudo:
Resposta
A integral dupla vale
.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais duplas:
, em que
é a região limitada pelas parábolas
e
.
Calcule as seguintes integrais duplas:
.
Em integrais iteradas, uma escolha adequada da ordem de integração pode facilitar muito os cálculos. Por exemplo, considere a região
limitada pelas curvas
e
, como ilustrado abaixo: A região
pode ser dividida em quatro regiões do tipo I. Descreva cada uma dessas regiões.
*Para as questões a seguir, ache o limite, se ele existir: 04).