Calcule as seguintes integrais duplas: integral0^1 integralx^raizx e^yy d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é:
integral0^1 integralx^raizx e^yy , dy , dx
Aqui estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integrais duplas. Vamos precisar entender como mudar a ordem de integração e simplificar a integral para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos indo de 0 a 1 e, para cada , vai de até . Isso pode ser complicado pra integrar diretamente, então vamos tentar mudar a ordem de integração.

Passo 3

Mudando a ordem, vamos fixar integral0^1 integraly^2^y e^yy , dx , dy primeiro. Para um dado entre 0 e 1, varia de (porque implica ) até . Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a integraly^2^y e^yy , dx = e^yy (y - y^2) = e^y (1 - y). Como não depende de , a integral interna fica:

Passo 5

Agora, a integral dupla se reduz a uma integral simples em integral0^1 e^y (1 - y) , dy:
integral0^1 e^y , dy - integral0^1 y e^y , dy
Vamos resolver isso expandindo:
integral e^y , dy = e^y
A primeira parte é fácil:
integral y e^y , dy = y e^y - integral e^y , dy = y e^y - e^y
Para a segunda parte, usamos integração por partes, onde:
Então,

Passo 6

Juntando tudo:
integral0^1 e^y (1 - y) , dy = [ e^y ]0^1 - [ y e^y - e^y ]0^1 = (e - 1) - ( (1 cdot e - e) - (0 - 1)) = e - 1 - (0) + 1 = e - 2

Resposta

A integral dupla vale .

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