Calcule as seguintes integrais duplas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é:
Aqui estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integrais duplas. Vamos precisar entender como mudar a ordem de integração e simplificar a integral para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos indo de 0 a 1 e, para cada , vai de até . Isso pode ser complicado pra integrar diretamente, então vamos tentar mudar a ordem de integração.

Passo 3

Mudando a ordem, vamos fixar primeiro. Para um dado entre 0 e 1, varia de (porque implica ) até . Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a . Como não depende de , a integral interna fica:

Passo 5

Agora, a integral dupla se reduz a uma integral simples em :
Vamos resolver isso expandindo:
A primeira parte é fácil:
Para a segunda parte, usamos integração por partes, onde:
Então,

Passo 6

Juntando tudo:

Resposta

A integral dupla vale .

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais duplas: , em que é a região limitada pelas parábolas e .
Calcule as seguintes integrais duplas: .
Em integrais iteradas, uma escolha adequada da ordem de integração pode facilitar muito os cálculos. Por exemplo, considere a região limitada pelas curvas e , como ilustrado abaixo: A região pode ser dividida em quatro regiões do tipo I. Descreva cada uma dessas regiões.
*Para as questões a seguir, ache o limite, se ele existir: 04).