Calcule as seguintes integrais duplas: , em que é a região limitada pelas parábolas e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla , onde a região é limitada pelas parábolas e . Aqui, vamos usar o conceito de integrais duplas em cálculo multivariado para calcular a área sob a função sobre a região . Precisamos entender como essas duas parábolas se interceptam para definir os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das parábolas e . Para isso, igualamos as duas equações:
Subtraindo de ambos os lados:
Então, as parábolas se cruzam quando e .

Passo 3

Agora, vamos determinar qual curva está acima da outra entre e . Testamos :
Então, está acima de nesse intervalo.

Passo 4

Com isso, podemos expressar a integral dupla como uma integral iterada. Vamos integrar primeiro em relação a , de até , e depois em relação a , de até :

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Calculando cada parte:
Portanto, a integral interna fica:

Passo 6

Agora, substituímos na integral externa:
Simplificando:

Passo 7

Calculamos cada integral separadamente:

Passo 8

Substituindo os resultados na expressão:
Para somar as frações, encontramos o denominador comum, que é 15:
Então:

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais duplas: .
Calcule as seguintes integrais duplas: , em que e
Calcule as seguintes integrais duplas:
Em integrais iteradas, uma escolha adequada da ordem de integração pode facilitar muito os cálculos. Por exemplo, considere a região limitada pelas curvas e , como ilustrado abaixo: A região pode ser dividida em quatro regiões do tipo I. Descreva cada uma dessas regiões.