Calcule as seguintes integrais duplas: , em que é a região limitada pelas parábolas e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral dupla , onde a região é limitada pelas parábolas e . Aqui, vamos usar o conceito de integrais duplas em cálculo multivariado para calcular a área sob a função sobre a região . Precisamos entender como essas duas parábolas se interceptam para definir os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das parábolas e . Para isso, igualamos as duas equações:
Subtraindo de ambos os lados:
Então, as parábolas se cruzam quando e .
Passo 3
Agora, vamos determinar qual curva está acima da outra entre e . Testamos :
Então, está acima de nesse intervalo.
Passo 4
Com isso, podemos expressar a integral dupla como uma integral iterada. Vamos integrar primeiro em relação a , de até , e depois em relação a , de até :
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a :
Calculando cada parte:
Portanto, a integral interna fica:
Passo 6
Agora, substituímos na integral externa:
Simplificando:
Passo 7
Calculamos cada integral separadamente:
Passo 8
Substituindo os resultados na expressão:
Para somar as frações, encontramos o denominador comum, que é 15: