Calcule as seguintes integrais duplas: integral duplaD(x+y) d A, em que D é a região limitada pelas parábolas y=2 x^2 e y=1+x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla integral duplaD(x+y) , dA, onde a região D é limitada pelas parábolas y=2x^2 e y=1+x^2. Aqui, vamos usar o conceito de integrais duplas em cálculo multivariado para calcular a área sob a função x+y sobre a região D. Precisamos entender como essas duas parábolas se interceptam para definir os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das parábolas y=2x^2 e y=1+x^2. Para isso, igualamos as duas equações:
2x^2 = 1 + x^2
Subtraindo x^2 de ambos os lados:
x^2 = 1 Rightarrow x = pm1
Então, as parábolas se cruzam quando x = -1 e x = 1.

Passo 3

Agora, vamos determinar qual curva está acima da outra entre x=-1 e x=1. Testamos x=0:
y=2(0)^2 = 0 e y=1+0^2 =1
Então, y=1+x^2 está acima de y=2x^2 nesse intervalo.

Passo 4

Com isso, podemos expressar a integral dupla como uma integral iterada. Vamos integrar primeiro em relação a y, de y=2x^2 até y=1+x^2, e depois em relação a x, de x=-1 até x=1:
integral-1^1 integral2x^2^1+x^2 (x+y) , dy , dx

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a y:
integral2x^2^1+x^2 (x+y) , dy = integral2x^2^1+x^2 x , dy + integral2x^2^1+x^2 y , dy
Calculando cada parte:
integral2x^2^1+x^2 x , dy = x [ y ]2x^2^1+x^2 = x(1+x^2 - 2x^2) = x(1 - x^2)
integral2x^2^1+x^2 y , dy = [ y^22 ]2x^2^1+x^2 = (1+x^2)^22 - (2x^2)^22 = 1 + 2x^2 + x^42 - 4x^42 = 1 + 2x^2 + x^4 - 4x^42 = 1 + 2x^2 - 3x^42
Portanto, a integral interna fica:
x(1 - x^2) + 1 + 2x^2 - 3x^42 = 2x(1 - x^2) + 1 + 2x^2 - 3x^42 = 2x - 2x^3 + 1 + 2x^2 - 3x^42

Passo 6

Agora, substituímos na integral externa:
integral-1^1 2x - 2x^3 + 1 + 2x^2 - 3x^42 , dx = 12 integral-1^1 (2x - 2x^3 + 1 + 2x^2 - 3x^4) , dx
Simplificando:
12 [ integral-1^1 2x , dx - integral-1^1 2x^3 , dx + integral-1^1 1 , dx + integral-1^1 2x^2 , dx - integral-1^1 3x^4 , dx ]

Passo 7

Calculamos cada integral separadamente:
  1. integral-1^1 2x , dx = [ x^2 ]-1^1 = 1 - 1 = 0
  2. integral-1^1 2x^3 , dx = [ 2x^44 ]-1^1 = x^42 |-1^1 = 12 - 12 = 0
  3. integral-1^1 1 , dx = [ x ]-1^1 = 1 - (-1) = 2
  4. integral-1^1 2x^2 , dx = 2 [ x^33 ]-1^1 = 2 ( 13 - -13 ) = 2 cdot 23 = 43
  5. integral-1^1 3x^4 , dx = 3 [ x^55 ]-1^1 = 3 ( 15 - -15 ) = 3 cdot 25 = 65

Passo 8

Substituindo os resultados na expressão:
12 ( 0 - 0 + 2 + 43 - 65 ) = 12 ( 2 + 43 - 65 )
Para somar as frações, encontramos o denominador comum, que é 15:
2 = 3015, 43 = 2015, 65 = 1815
Então:
12 ( 3015 + 2015 - 1815 ) = 12 cdot 3215 = 3230 = 1615

Resposta

O valor da integral dupla é boxeddfrac1615.

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