Calcule as seguintes integrais duplas:
.
Passo 1
Então, temos o exercício de calcular a integral dupla
. Esse problema está relacionado a integrais duplas, que envolvem calcular a área sob uma superfície definida por uma função de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como trocar a ordem de integração e usar substituição para simplificar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração no plano xy. Temos que
varia de 0 a 2 e, para cada
,
vai de
até 1. Isso descreve uma área triangular.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos trocar a ordem das integrais. Em vez de integrar com respeito a
primeiro e depois a
, vamos integrar com respeito a
primeiro. Assim,
vai de 0 a 1 e, para cada
,
varia de 0 a
. A integral fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral interna em relação a
. Como
é constante em relação a
, temos:
Passo 5
Integrando
de 0 a
, obtemos:
Passo 6
Substituindo de volta na integral externa, temos:
Passo 7
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
, ou seja,
. A integral fica:
Passo 8
Integrando
de 0 a 1, temos:
Resposta
A integral dupla vale
.
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, em que
é o triângulo de vértices
e
.
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.
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, em que
e
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.