Calcule as seguintes integrais duplas: integral0^2 integraly / 2^1 y e^x^3 d x d y.

Passo 1

Então, temos o exercício de calcular a integral dupla integral0^2 integraly / 2^1 y e^x^3 , dx , dy. Esse problema está relacionado a integrais duplas, que envolvem calcular a área sob uma superfície definida por uma função de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como trocar a ordem de integração e usar substituição para simplificar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração no plano xy. Temos que y varia de 0 a 2 e, para cada y, x vai de y/2 até 1. Isso descreve uma área triangular.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos trocar a ordem das integrais. Em vez de integrar com respeito a x primeiro e depois a y, vamos integrar com respeito a y primeiro. Assim, x vai de 0 a 1 e, para cada x, y varia de 0 a 2x. A integral fica:
integral0^1 integral0^2x y e^x^3 , dy , dx

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral interna em relação a y. Como e^x^3 é constante em relação a y, temos:
integral0^2x y e^x^3 , dy = e^x^3 integral0^2x y , dy

Passo 5

Integrando y de 0 a 2x, obtemos:
integral0^2x y , dy = [ y^22 ]0^2x = (2x)^22 = 4x^22 = 2x^2

Passo 6

Substituindo de volta na integral externa, temos:
integral0^1 e^x^3 cdot 2x^2 , dx = 2 integral0^1 x^2 e^x^3 , dx

Passo 7

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Seja u = x^3, então du = 3x^2 , dx, ou seja, x^2 , dx = du3. A integral fica:
2 integralu=0^u=1 e^u cdot du3 = 23 integral0^1 e^u , du

Passo 8

Integrando e^u de 0 a 1, temos:
23 [ e^u ]0^1 = 23 (e^1 - e^0) = 23 (e - 1)

Resposta

A integral dupla vale dfrac23(e - 1).

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