Calcule as seguintes integrais duplas: .

Passo 1

Então, temos o exercício de calcular a integral dupla . Esse problema está relacionado a integrais duplas, que envolvem calcular a área sob uma superfície definida por uma função de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como trocar a ordem de integração e usar substituição para simplificar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração no plano xy. Temos que varia de 0 a 2 e, para cada , vai de até 1. Isso descreve uma área triangular.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos trocar a ordem das integrais. Em vez de integrar com respeito a primeiro e depois a , vamos integrar com respeito a primeiro. Assim, vai de 0 a 1 e, para cada , varia de 0 a . A integral fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral interna em relação a . Como é constante em relação a , temos:

Passo 5

Integrando de 0 a , obtemos:

Passo 6

Substituindo de volta na integral externa, temos:

Passo 7

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Seja , então , ou seja, . A integral fica:

Passo 8

Integrando de 0 a 1, temos:

Resposta

A integral dupla vale .

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