Calcule, usando a integral dupla, o volume dos seguintes sólidos: (g) é o sólido limitado pelas superfícies e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume do sólido que está limitado pelas superfícies , , , e . A matéria que estamos usando aqui é cálculo integral, mais especificamente integrais duplas para encontrar volumes. Vamos precisar identificar os limites de integração e configurar a integral dupla corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as superfícies que limitam o sólido :
: Essa é uma parábola que abre para baixo no eixo .
: Isso significa que estamos apenas acima do plano .
: Isso representa o plano .
: Podemos rearranjar para , que é uma reta no plano .
Passo 3
Vamos visualizar a região de e . Para isso, precisamos encontrar a interseção das restrições e .
Quando , substituindo na equação , temos:
Então, a região de integração em e vai de até onde a parábola cruza .
Passo 4
Vamos encontrar os limites para . Para , temos:
Então, varia de a .
Passo 5
Agora, para cada valor de entre e , varia de até . Assim, os limites de integração são:
Passo 6
A função que representa a altura do sólido em cada ponto é . Então, a integral dupla para o volume é:
Passo 7
Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a :