Calcule, usando a integral dupla, o volume dos seguintes sólidos: (g) S é o sólido limitado pelas superfícies z = 1 - y^2, z ≥ 0, x = 0, z = 0 e x - y = 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume do sólido que está limitado pelas superfícies , , , e . A matéria que estamos usando aqui é cálculo integral, mais especificamente integrais duplas para encontrar volumes. Vamos precisar identificar os limites de integração e configurar a integral dupla corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as superfícies que limitam o sólido :
  1. : Essa é uma parábola que abre para baixo no eixo .
  2. : Isso significa que estamos apenas acima do plano .
  3. : Isso representa o plano .
  4. : Podemos rearranjar para , que é uma reta no plano .

Passo 3

Vamos visualizar a região de e . Para isso, precisamos encontrar a interseção das restrições e .
Quando , substituindo na equação , temos:
Então, a região de integração em e vai de até onde a parábola cruza .

Passo 4

Vamos encontrar os limites para . Para , temos:
Então, varia de a .

Passo 5

Agora, para cada valor de entre e , varia de até . Assim, os limites de integração são:

Passo 6

A função que representa a altura do sólido em cada ponto é . Então, a integral dupla para o volume é:

Passo 7

Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a :

Passo 8

Agora, substituímos na integral externa:
Vamos expandir a expressão dentro da integral:

Passo 9

Então, a integral fica:
Vamos integrar termo a termo:

Passo 10

Calculando em :
Calculando em :

Passo 11

Subtraindo os valores:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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