Calcule as seguintes integrais duplas: © integral0^1 integral0^1 raizx+y d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla . Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente de integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar integrar a função sobre o quadrado unitário, ou seja, onde e variam de 0 a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como organizar essa integral. A integral dupla pode ser vista como uma integração em duas etapas: primeiro integrando em relação a integral0^1 ( integral0^1 raizx+y , dx ) dy e depois em relação a . Então, temos:

Passo 3

Vamos começar pela integração interna, que é em relação a integraly^y+1 raizz , dz . Para facilitar, fazemos uma substituição simples: deixa 23 [ (y+1)^3/2 - y^3/2 ] . Assim, quando varia de 0 a 1, varia de a . A diferencial é igual a . Então, a integral interna fica:
Sabemos que a integral de é . Aplicando os limites:

Passo 4

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
23 integral0^1 [ (y+1)^3/2 - y^3/2 ] dy
Vamos separar essa expressão em duas integrais:
23 ( integral0^1 (y+1)^3/2 , dy - integral0^1 y^3/2 , dy )
Para resolver essas integrais, usamos a fórmula 23 ( 25 [2^5/2 - 1^5/2] - 25 [1^5/2 - 0^5/2] ) :
  1. Para , fazemos a substituição , então . A integral vira , avaliada de 1 a 2.
  2. Para , aplicamos diretamente: , avaliada de 0 a 1.
Calculando:

Passo 5

Vamos simplificar agora:
23 ( 25 (4raiz2 - 1) - 25 (1 - 0) ) = 23 ( 8raiz2 - 25 ) = 16raiz2 - 415
Podemos fatorar o 4:
16raiz2 - 815

Resposta

A integral dupla vale .

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