Calcule as seguintes integrais duplas: ©
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente de integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar integrar a função
sobre o quadrado unitário, ou seja, onde
e
variam de 0 a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como organizar essa integral. A integral dupla pode ser vista como uma integração em duas etapas: primeiro integrando em relação a
e depois em relação a
. Então, temos:
Passo 3
Vamos começar pela integração interna, que é em relação a
. Para facilitar, fazemos uma substituição simples: deixa
. Assim, quando
varia de 0 a 1,
varia de
a
. A diferencial
é igual a
. Então, a integral interna fica:
Sabemos que a integral de
é
. Aplicando os limites:
Passo 4
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Vamos separar essa expressão em duas integrais:
Para resolver essas integrais, usamos a fórmula
:
- Para
, fazemos a substituição , então . A integral vira , avaliada de 1 a 2. - Para
, aplicamos diretamente: , avaliada de 0 a 1.
Calculando:
Passo 5
Vamos simplificar agora:
Podemos fatorar o 4:
Resposta
A integral dupla vale
.