Calcule as seguintes integrais duplas: (e)
onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla:
, onde a região
é o retângulo
. Aqui estamos trabalhando com integrais duplas, que servem para calcular volumes sob superfícies em uma região bidimensional. Para resolver, vamos usar a técnica de integração iterada, onde integramos uma variável de cada vez.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a integral dupla como uma integral iterada. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
, ou vice-versa. No nosso caso, fica mais simples integrar primeiro em relação a
.
Então, a integral fica assim:
Passo 3
Vamos resolver a integral interna, que é em relação a
:
Aqui,
é uma constante em relação a
, então podemos fatorá-lo para fora da integral:
Agora, vamos resolver
. Fazemos uma substituição simples:
Substituindo na integral:
Já que
, a expressão simplifica para:
Passo 4
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
A integral
pode ser resolvida assim:
Então, substituindo de volta:
Resposta
O valor da integral dupla é
.