Calcule as seguintes integrais duplas: (e) integral duplaR x y^2x^2+1 d x d y onde R=[0,1] times[-3,3]

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: , onde a região é o retângulo . Aqui estamos trabalhando com integrais duplas, que servem para calcular volumes sob superfícies em uma região bidimensional. Para resolver, vamos usar a técnica de integração iterada, onde integramos uma variável de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral dupla como uma integral iterada. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a integraly=-3^3 ( integralx=0^1 x y^2x^2+1 , dx ) dy e depois em relação a , ou vice-versa. No nosso caso, fica mais simples integrar primeiro em relação a .
Então, a integral fica assim:

Passo 3

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a integral0^1 x y^2x^2+1 , dx :
y^2 integral0^1 xx^2+1 , dx
Aqui, u = x^2 + 1 Rightarrow du = 2x , dx Rightarrow du2 = x , dx é uma constante em relação a y^2 cdot 12 integralu=1^2 1u , du = y^2 cdot 12 [ln|u|]1^2 = y^2 cdot 12 (ln 2 - ln 1) = y^2 cdot 12 ln 2 , então podemos fatorá-lo para fora da integral:
y^2 ln 22
Agora, vamos resolver . Fazemos uma substituição simples:
Substituindo na integral:
Já que , a expressão simplifica para:

Passo 4

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral-3^3 y^2 ln 22 , dy = ln 22 integral-3^3 y^2 , dy
A integral integral-3^3 y^2 , dy = 2 integral0^3 y^2 , dy = 2 [ y^33 ]0^3 = 2 ( 273 - 0 ) = 2 times 9 = 18 pode ser resolvida assim:
ln 22 times 18 = 9 ln 2
Então, substituindo de volta:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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