Calcule as seguintes integrais duplas:
, em que
é o triângulo de vértices
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você pediu para calcular uma integral dupla
, onde a região
é um triângulo com vértices em
,
e
. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais duplas sobre regiões planas. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração para
e
dentro desse triângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. Temos um triângulo com vértices em
,
e
. Isso forma um triângulo reto com a base no eixo
de
a
, e o lado inclinado de
a
representado pela linha
.
Passo 3
Para configurar a integral dupla, precisamos determinar os limites de integração para
e
. Observando o triângulo:
-
varia de a . - Para cada valor de
, varia de até .
Então, podemos escrever a integral dupla assim:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
A função
não tem uma antiderivada elementar, ou seja, não podemos expressá-la usando funções básicas. Nesse caso, usamos a função erro, definida por:
Então, a integral se torna:
Passo 5
Agora, substituímos a integral interna na integral externa:
Podemos separar a integral em duas partes:
A primeira integral é simples:
A segunda integral,
, pode ser resolvida por integração por partes, resultando em:
Substituindo os limites:
Passo 6
Finalmente, combinamos os resultados das duas partes:
Portanto, o valor da integral dupla é: