Calcule as seguintes integrais duplas: integral duplaD e^-y^2 d A, em que D é o triângulo de vértices (0,0),(1,1) e (0,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você pediu para calcular uma integral dupla integral duplaD e^-y^2 dA, onde a região D é um triângulo com vértices em (0,0), (1,1) e (0,1). Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais duplas sobre regiões planas. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração para x e y dentro desse triângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região D. Temos um triângulo com vértices em (0,0), (1,1) e (0,1). Isso forma um triângulo reto com a base no eixo y de y=0 a y=1, e o lado inclinado de (0,0) a (1,1) representado pela linha y=x.

Passo 3

Para configurar a integral dupla, precisamos determinar os limites de integração para x e y. Observando o triângulo:
  • x varia de 0 a 1.
  • Para cada valor de x, y varia de y=x até y=1.
Então, podemos escrever a integral dupla assim:
integralx=0^1 integraly=x^1 e^-y^2 , dy , dx

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a y:
integraly=x^1 e^-y^2 , dy
A função e^-y^2 não tem uma antiderivada elementar, ou seja, não podemos expressá-la usando funções básicas. Nesse caso, usamos a função erro, definida por:
erf(z) = 2raizpi integral0^z e^-t^2 , dt
Então, a integral se torna:
raizpi2 [ erf(1) - erf(x) ]

Passo 5

Agora, substituímos a integral interna na integral externa:
integralx=0^1 raizpi2 [ erf(1) - erf(x) ] , dx
Podemos separar a integral em duas partes:
raizpi2 erf(1) integral0^1 dx - raizpi2 integral0^1 erf(x) , dx
A primeira integral é simples:
raizpi2 erf(1) cdot (1 - 0) = raizpi2 erf(1)
A segunda integral, integral erf(x) , dx, pode ser resolvida por integração por partes, resultando em:
raizpi2 [ x cdot erf(x) + e^-x^2raizpi ] g|0^1
Substituindo os limites:
raizpi2 [ 1 cdot erf(1) + e^-1raizpi - 0 ] = raizpi2 erf(1) + e^-12

Passo 6

Finalmente, combinamos os resultados das duas partes:
raizpi2 erf(1) - ( raizpi2 erf(1) + e^-12 ) = -e^-12
Portanto, o valor da integral dupla é:

Resposta

-e^-12

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