Calcule as seguintes integrais duplas: , em que é o triângulo de vértices e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você pediu para calcular uma integral dupla , onde a região é um triângulo com vértices em , e . Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais duplas sobre regiões planas. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração para e dentro desse triângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região . Temos um triângulo com vértices em , e . Isso forma um triângulo reto com a base no eixo de a , e o lado inclinado de a representado pela linha .
Passo 3
Para configurar a integral dupla, precisamos determinar os limites de integração para e . Observando o triângulo:
varia de a .
Para cada valor de , varia de até .
Então, podemos escrever a integral dupla assim:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
A função não tem uma antiderivada elementar, ou seja, não podemos expressá-la usando funções básicas. Nesse caso, usamos a função erro, definida por:
Então, a integral se torna:
Passo 5
Agora, substituímos a integral interna na integral externa:
Podemos separar a integral em duas partes:
A primeira integral é simples:
A segunda integral, , pode ser resolvida por integração por partes, resultando em:
Substituindo os limites:
Passo 6
Finalmente, combinamos os resultados das duas partes: