Calcule as seguintes integrais duplas:
, onde
.
Resp. ©
.
Resp. ©
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é meio complicada, mas vou te explicar passo a passo. A questão é calcular
, onde a região
é definida por
e
. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integração por substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. A variável
varia de 1 a 2. Para cada valor de
,
varia de
até
. Então, nossa integral dupla fica:
Passo 3
Vamos resolver a integral interna em relação a
. Para facilitar, fazemos uma substituição: seja
. Assim,
ou
. Substituindo na integral:
Passo 4
A integral de
em relação a
é simplesmente
. Então, calculando os limites:
Passo 5
Agora, substituímos de volta na integral externa em relação a
:
Passo 6
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Para a primeira, fazemos outra substituição: seja
, então
ou
. Assim:
Então, avaliando de 1 a 2:
Passo 7
Para a segunda integral:
Passo 8
Agora, juntamos as duas partes: