Calcule as seguintes integrais duplas: integral duplaD e^x / y d x d y, onde D=(x, y): 1 <= y <= 2, y <= x <= y^3.
Resp. © 12 e^4-2 e.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é meio complicada, mas vou te explicar passo a passo. A questão é calcular integral duplaD e^x / y , dx , dy, onde a região é definida por e . Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integração por substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. A variável integraly=1^2 integralx=y^x=y^3 e^x / y , dx , dy varia de 1 a 2. Para cada valor de , varia de até . Então, nossa integral dupla fica:

Passo 3

Vamos resolver a integral interna em relação a integralx=y^x=y^3 e^x / y , dx = integralu=1^u=y^2 e^u cdot y , du = y integral1^y^2 e^u , du . Para facilitar, fazemos uma substituição: seja . Assim, ou . Substituindo na integral:

Passo 4

A integral de y [ e^u ]1^y^2 = y ( e^y^2 - e ) em relação a é simplesmente . Então, calculando os limites:

Passo 5

Agora, substituímos de volta na integral externa em relação a integral1^2 y ( e^y^2 - e ) , dy = integral1^2 y e^y^2 , dy - e integral1^2 y , dy :

Passo 6

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Para a primeira, fazemos outra substituição: seja integral y e^y^2 , dy = 12 integral e^v , dv = 12 e^v + C = 12 e^y^2 + C , então 12 ( e^4 - e ) ou . Assim:
Então, avaliando de 1 a 2:

Passo 7

Para a segunda integral:
e integral1^2 y , dy = e [ y^22 ]1^2 = e ( 42 - 12 ) = e ( 2 - 12 ) = e cdot 32 = 32 e

Passo 8

Agora, juntamos as duas partes:
12 ( e^4 - e ) - 32 e = 12 e^4 - 12 e - 32 e = 12 e^4 - 2 e

Resposta

12 e^4 - 2 e

Exercícios relacionados