Calcule as seguintes integrais duplas: integral duplaR x sin y d x d y, onde R=(x, y): 1 <= x <= 4,0 <= y <= pi6.
Resp. (b) 154(2-raiz3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla , onde a região é definida por e . Aqui, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, para resolver o problema. Vamos precisar dividir a integral em duas partes, primeiro integrando em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral dupla como iterada. Isso significa que vamos integrar primeiro em uma variável e depois na outra. Podemos escrever:
integraly=0^pi6 integralx=1^4 x sin y , dx , dy
Aqui, decidimos integrar primeiro em relação a de 1 a 4, e depois em relação a de 0 a .

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a integralx=1^4 x sin y , dx = sin y integralx=1^4 x , dx . Observe que integral1^4 x , dx = [x^22]1^4 = 4^22 - 1^22 = 162 - 12 = 8 - 0.5 = 7.5 é considerado uma constante quando integramos em relação a 7.5 cdot sin y . Então, a integral interna fica:
Agora, vamos integrar de 1 a 4:
Portanto, a integral interna resulta em:

Passo 4

Agora, vamos substituir o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^pi6 7.5 sin y , dy
Vamos integrar 7.5 integral0^pi6 sin y , dy = 7.5 [-cos y ]0^pi6 = 7.5 [-cos(pi6) + cos(0)] em relação a 7.5 [-raiz32 + 1] = 7.5 (1 - raiz32) :
Sabemos que e , então substituindo:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
7.5 (1 - raiz32) = 152 (1 - raiz32) = 152 cdot 2 - raiz32 = 154 (2 - raiz3)

Resposta

154 (2 - raiz3)

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