Calcule as seguintes integrais duplas:
, onde
.
Resp. (b)
.
Resp. (b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral dupla
, onde a região
é definida por
e
. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, para resolver o problema. Vamos precisar dividir a integral em duas partes, primeiro integrando em relação a
e depois em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a integral dupla como iterada. Isso significa que vamos integrar primeiro em uma variável e depois na outra. Podemos escrever:
Aqui, decidimos integrar primeiro em relação a
de 1 a 4, e depois em relação a
de 0 a
.
Passo 3
Vamos começar integrando em relação a
. Observe que
é considerado uma constante quando integramos em relação a
. Então, a integral interna fica:
Agora, vamos integrar
de 1 a 4:
Portanto, a integral interna resulta em:
Passo 4
Agora, vamos substituir o resultado da integral interna na integral externa:
Vamos integrar
em relação a
:
Sabemos que
e
, então substituindo:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão: