Resolva:
4y'' - 4y' + y = 0, y(0) = 2, y'(0) = 1/3

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para achar os coeficientes específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar a visualização:
Aqui, representa a segunda derivada de em relação a , e é a primeira derivada.

Passo 3

Para resolver essa equação, precisamos encontrar a equação característica associada. Isso é feito substituindo por , onde é uma constante que vamos determinar. Fazendo isso, temos:
Podemos dividir toda a equação por (que nunca é zero), ficando:

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação quadrática para encontrar os valores de . Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e . Calculando o discriminante:

Passo 5

Como o discriminante , temos uma raiz real dupla. Calculando:
Então, .

Passo 6

Quando temos raízes reais e iguais, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo :

Passo 7

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e .
Primeiro, quando :
Então, .

Passo 8

Precisamos também da derivada da solução para aplicar a segunda condição inicial .
Calculando a derivada de :
Simplificando:
Agora, aplicando :
Então:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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