Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para achar os coeficientes específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar a visualização:
Aqui, representa a segunda derivada de em relação a , e é a primeira derivada.
Passo 3
Para resolver essa equação, precisamos encontrar a equação característica associada. Isso é feito substituindo por , onde é uma constante que vamos determinar. Fazendo isso, temos:
Podemos dividir toda a equação por (que nunca é zero), ficando:
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação quadrática para encontrar os valores de . Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e . Calculando o discriminante:
Passo 5
Como o discriminante , temos uma raiz real dupla. Calculando:
Então, .
Passo 6
Quando temos raízes reais e iguais, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo :
Passo 7
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e .
Primeiro, quando :
Então, .
Passo 8
Precisamos também da derivada da solução para aplicar a segunda condição inicial .