Em integrais iteradas, uma escolha adequada da ordem de integração pode facilitar muito os cálculos. Por exemplo, considere a região
limitada pelas curvas
e
, como ilustrado abaixo: A região
pode ser dividida em quatro regiões do tipo I. Descreva cada uma dessas regiões.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre integrais iteradas, que são usadas para calcular áreas, volumes e outras grandezas em regiões no plano. Nosso objetivo aqui é dividir a região D, limitada pelas curvas
,
e
, em quatro regiões do tipo I. Para isso, vamos precisar entender como essas curvas se comportam e onde elas se encontram.
Passo 2
Primeiro, vamos entender cada uma das curvas que limitam a região D:
-
: Essa é uma reta horizontal onde . -
: Podemos rearranjar para . Essa é uma parábola aberta para a esquerda. -
: Rearranjando, temos . Essa é a parte esquerda da circunferência com raio 2, centrada na origem.
Passo 3
Vamos achar os pontos de interseção dessas curvas para entender melhor a região D.
-
Interseção de
e :
Substituindona equação da parábola: Ponto de interseção: -
Interseção de
e :
Substituindo: Ponto de interseção: -
Interseção de
e :
Igualando as duas expressões de: Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:Resolvendo essa equação, encontramose . Porém, leva a , que já foi considerada. Portanto, os pontos de interseção adicionais são e .
Passo 4
Agora que temos os pontos de interseção, podemos visualizar como a região D está dividida pelas curvas. As quatro regiões do tipo I são definidas por intervalos de
, onde para cada intervalo,
varia entre duas funções.
-
Primeira Região (
de a ): -
varia de a
-
-
Segunda Região (
de a ): -
varia de a
-
-
Terceira Região (
de a ): -
varia de a
-
-
Quarta Região (
de a ): -
varia de a
-
Passo 5
Para cada uma dessas regiões, definimos os limites de integração em função de
. Isso facilita o cálculo das integrais iteradas porque para cada
, os limites de
são funções claras de
. Assim, podemos integrar primeiro em
e depois em
, ou vice-versa, dependendo da conveniência.
Resposta
Dividimos a região D em quatro sub-regiões do tipo I, onde para cada intervalo de
,
varia de
a
. As regiões são:
- Região 1:
de a - Região 2:
de a - Região 3:
de a - Região 4:
de a
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Calcule as seguintes integrais duplas:
Calcule as seguintes integrais duplas:
, em que
é a região limitada pelas parábolas
e
.
*Para as questões a seguir, ache o limite, se ele existir: 04).
*Para as questões a seguir, ache o limite, se ele existir: 7)