Em integrais iteradas, uma escolha adequada da ordem de integração pode facilitar muito os cálculos. Por exemplo, considere a região limitada pelas curvas e , como ilustrado abaixo: A região pode ser dividida em quatro regiões do tipo I. Descreva cada uma dessas regiões.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre integrais iteradas, que são usadas para calcular áreas, volumes e outras grandezas em regiões no plano. Nosso objetivo aqui é dividir a região D, limitada pelas curvas , e , em quatro regiões do tipo I. Para isso, vamos precisar entender como essas curvas se comportam e onde elas se encontram.

Passo 2

Primeiro, vamos entender cada uma das curvas que limitam a região D:
  1. : Essa é uma reta horizontal onde .
  2. : Podemos rearranjar para . Essa é uma parábola aberta para a esquerda.
  3. : Rearranjando, temos . Essa é a parte esquerda da circunferência com raio 2, centrada na origem.

Passo 3

Vamos achar os pontos de interseção dessas curvas para entender melhor a região D.
  1. Interseção de e :
    Substituindo na equação da parábola:
    Ponto de interseção:
  2. Interseção de e :
    Substituindo :
    Ponto de interseção:
  3. Interseção de e :
    Igualando as duas expressões de :
    Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
    Resolvendo essa equação, encontramos e . Porém, leva a , que já foi considerada. Portanto, os pontos de interseção adicionais são e .

Passo 4

Agora que temos os pontos de interseção, podemos visualizar como a região D está dividida pelas curvas. As quatro regiões do tipo I são definidas por intervalos de , onde para cada intervalo, varia entre duas funções.
  1. Primeira Região ( de a ):
    • varia de a
  2. Segunda Região ( de a ):
    • varia de a
  3. Terceira Região ( de a ):
    • varia de a
  4. Quarta Região ( de a ):
    • varia de a

Passo 5

Para cada uma dessas regiões, definimos os limites de integração em função de . Isso facilita o cálculo das integrais iteradas porque para cada , os limites de são funções claras de . Assim, podemos integrar primeiro em e depois em , ou vice-versa, dependendo da conveniência.

Resposta

Dividimos a região D em quatro sub-regiões do tipo I, onde para cada intervalo de , varia de a . As regiões são:
  1. Região 1: de a
  2. Região 2: de a
  3. Região 3: de a
  4. Região 4: de a

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Calcule as seguintes integrais duplas:
Calcule as seguintes integrais duplas: , em que é a região limitada pelas parábolas e .
*Para as questões a seguir, ache o limite, se ele existir: 04).
*Para as questões a seguir, ache o limite, se ele existir: 7)