Classifique (V) ou (F), justificando as suas respostas: ( ) Se lim n +infty raiz[n]|an|=L>0 então o raio de convergência da série de potências sumn=0^+infty an(x-a)^n é 1L.

Passo 1

Vamos analisar a afirmação apresentada. O enunciado fala sobre o limite lim n +infty raiz[n]|an|=L>0 e relaciona isso ao raio de convergência da série de potências sumn=0^+infty an(x-a)^n. Para resolver isso, precisamos entender o que é o raio de convergência e como ele se relaciona com o limite dado. Vamos usar a fórmula de Cauchy-Hadamard para determinar o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de convergência. Em séries de potências, o raio de convergência, denotado por R, é o valor tal que a série converge para todos os valores de x que satisfazem |x - a| < R e diverge para |x - a| > R.

Passo 3

A fórmula de Cauchy-Hadamard nos dá uma maneira de calcular o raio de convergência usando o limite superior do n-ésimo termo da série. A fórmula é:
1R = limsupn to +infty raiz[n]|an|

Passo 4

No enunciado, temos que limn +infty raiz[n]|an|=L>0. Se esse limite existe e é igual a L, então o limsup também será igual a L. Portanto, podemos aplicar diretamente a fórmula:
1R = L Rightarrow R = 1L

Passo 5

Assim, a afirmação de que "se lim n +infty raiz[n]|an|=L>0 então o raio de convergência da série de potências sumn=0^+infty an(x-a)^n é 1L" está correta.

Resposta

(V) Verdadeiro. De acordo com a fórmula de Cauchy-Hadamard, se lim n +infty raiz[n]|an|=L>0, então o raio de convergência da série de potências é realmente 1L.

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