Classifique (V) ou (F), justificando as suas respostas: ( ) Se
então o raio de convergência da série de potências
é
.
Passo 1
Vamos analisar a afirmação apresentada. O enunciado fala sobre o limite
e relaciona isso ao raio de convergência da série de potências
. Para resolver isso, precisamos entender o que é o raio de convergência e como ele se relaciona com o limite dado. Vamos usar a fórmula de Cauchy-Hadamard para determinar o raio de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de convergência. Em séries de potências, o raio de convergência, denotado por
, é o valor tal que a série converge para todos os valores de
que satisfazem
e diverge para
.
Passo 3
A fórmula de Cauchy-Hadamard nos dá uma maneira de calcular o raio de convergência usando o limite superior do
-ésimo termo da série. A fórmula é:
Passo 4
No enunciado, temos que
. Se esse limite existe e é igual a
, então o
também será igual a
. Portanto, podemos aplicar diretamente a fórmula:
Passo 5
Assim, a afirmação de que "se
então o raio de convergência da série de potências
é
" está correta.
Resposta
(V) Verdadeiro. De acordo com a fórmula de Cauchy-Hadamard, se
, então o raio de convergência da série de potências é realmente
.
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Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
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Resolva as seguintes equações, explicitando a solução (quando possível):
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, em que
é o triângulo de vértices
e
.