Classifique (V) ou (F), justificando as suas respostas: ( ) Se então o raio de convergência da série de potências é .

Passo 1

Vamos analisar a afirmação apresentada. O enunciado fala sobre o limite e relaciona isso ao raio de convergência da série de potências . Para resolver isso, precisamos entender o que é o raio de convergência e como ele se relaciona com o limite dado. Vamos usar a fórmula de Cauchy-Hadamard para determinar o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de convergência. Em séries de potências, o raio de convergência, denotado por , é o valor tal que a série converge para todos os valores de que satisfazem e diverge para .

Passo 3

A fórmula de Cauchy-Hadamard nos dá uma maneira de calcular o raio de convergência usando o limite superior do -ésimo termo da série. A fórmula é:

Passo 4

No enunciado, temos que . Se esse limite existe e é igual a , então o também será igual a . Portanto, podemos aplicar diretamente a fórmula:

Passo 5

Assim, a afirmação de que "se então o raio de convergência da série de potências é " está correta.

Resposta

(V) Verdadeiro. De acordo com a fórmula de Cauchy-Hadamard, se , então o raio de convergência da série de potências é realmente .

Exercícios relacionados

Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
Resolva as seguintes equações, explicitando a solução (quando possível):
Calcule as seguintes integrais duplas: , em que é o triângulo de vértices e .