Mostre que as seguintes sequências de funções convergem pontualmente e determine, em cada caso, se a convergência é uniforme no domínio dado. Justifique sua resposta. fn: R -> R, fn(x) = sen(x)/n

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos uma sequência de funções definidas por , onde é um número natural e é um número real. Nosso objetivo é:
  1. Mostrar que essa sequência converge pontualmente.
  2. Verificar se essa convergência é uniforme no domínio dado.
Para isso, vamos precisar saber sobre convergência pontual e uniforme de sequências de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a convergência pontual. Dizemos que uma sequência de funções converge pontualmente para uma função em um ponto se, para cada , o limite .
No nosso caso, vamos calcular o limite de quando tende ao infinito.

Passo 3

Calculemos esse limite:
Portanto, para cada real, tende a 0 quando tende ao infinito.

Passo 4

Assim, concluímos que a sequência de funções converge pontualmente para a função constante em todo o domínio .

Passo 5

Agora, vamos verificar se essa convergência é uniforme. A convergência uniforme ocorre quando o máximo das diferenças tende a zero quando tende ao infinito, de forma independente de .
Matematicamente, queremos ver se:

Passo 6

Sabemos que para todo . Portanto:
E, claramente,

Passo 7

Como o supremo de é bounded por e esse limite é zero, concluímos que a convergência é uniforme no domínio .

Resposta

A sequência de funções converge pontualmente para em e essa convergência é uniforme no domínio dado.

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