Mostre que as seguintes sequências de funções convergem pontualmente e determine, em cada caso, se a convergência é uniforme no domínio dado. Justifique sua resposta.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos uma sequência de funções definidas por , onde é um número natural e é um número real. Nosso objetivo é:
Mostrar que essa sequência converge pontualmente.
Verificar se essa convergência é uniforme no domínio dado.
Para isso, vamos precisar saber sobre convergência pontual e uniforme de sequências de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a convergência pontual. Dizemos que uma sequência de funções converge pontualmente para uma função em um ponto se, para cada , o limite .
No nosso caso, vamos calcular o limite de quando tende ao infinito.
Passo 3
Calculemos esse limite:
Portanto, para cada real, tende a 0 quando tende ao infinito.
Passo 4
Assim, concluímos que a sequência de funções converge pontualmente para a função constante em todo o domínio .
Passo 5
Agora, vamos verificar se essa convergência é uniforme. A convergência uniforme ocorre quando o máximo das diferenças tende a zero quando tende ao infinito, de forma independente de .
Matematicamente, queremos ver se:
Passo 6
Sabemos que para todo . Portanto:
E, claramente,
Passo 7
Como o supremo de é bounded por e esse limite é zero, concluímos que a convergência é uniforme no domínio .
Resposta
A sequência de funções converge pontualmente para em e essa convergência é uniforme no domínio dado.