Resolva:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é
. Estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem do tipo Cauchy-Euler. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica específica que aproveita a forma da equação. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
tem a forma de uma potência de
, ou seja,
. Essa é uma estratégia comum para equações do tipo Cauchy-Euler.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as primeiras e segundas derivadas de
. Se
, então:
Passo 4
Vamos substituir
,
e
na equação original:
Passo 5
Simplificando cada termo:
Fatorando
:
Passo 6
Como
não é zero, podemos igualar o termo entre colchetes a zero:
Isso nos dá a equação característica:
Passo 7
Resolvendo a equação característica:
Então, os valores de
são
e
.
Passo 8
Com os valores de
, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
Onde
e
são constantes que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: