Resolva:
x^2 y'' + x y' - 9 y = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é . Estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem do tipo Cauchy-Euler. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica específica que aproveita a forma da equação. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução tem a forma de uma potência de , ou seja, . Essa é uma estratégia comum para equações do tipo Cauchy-Euler.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as primeiras e segundas derivadas de . Se , então:

Passo 4

Vamos substituir , e na equação original:

Passo 5

Simplificando cada termo:
Fatorando :

Passo 6

Como não é zero, podemos igualar o termo entre colchetes a zero:
Isso nos dá a equação característica:

Passo 7

Resolvendo a equação característica:
Então, os valores de são e .

Passo 8

Com os valores de , podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
Onde e são constantes que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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