Calcule as seguintes integrais duplas: integral-2^2 integraly^3 y x y d x d y

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular uma integral dupla:
integral-2^2 integraly^3 y x y , dx , dy
Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções de duas variáveis, ou seja, primeiro integrar em relação a uma variável mantendo a outra constante, e depois integrar o resultado em relação à segunda variável.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a integral interna, que é em relação a integraly^3 y x y , dx, mantendo y integraly^3 y x , dx constante:
integral x , dx = 12 x^2
Aqui, y [ 12 (3y)^2 - 12 y^2 ] é tratado como uma constante. Então, podemos fatorar y [ 12 (9y^2) - 12 y^2 ] = y [ 92 y^2 - 12 y^2 ] = y ( 4 y^2 ) = 4 y^3 para facilitar a integração:
A integral de em relação a é:
Agora, avaliamos de a :
Simplificando:

Passo 3

Agora, substituímos a integral interna resolvida na integral externa:
integral-2^2 4 y^3 , dy
Vamos integrar 4 integral y^3 , dy = 4 ( 14 y^4 ) = y^4 em relação a 2^4 - (-2)^4 = 16 - 16 = 0:
Avaliamo de a :

Resposta

O valor da integral dupla é 0.

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