Calcule o valor das integrais iteradas: integral1^2 integral0^3 x^2 y d y d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular uma integral dupla, que envolve duas variáveis: e . O conteúdo da matéria é sobre integrais iteradas, onde integramos uma variável de cada vez. Para resolver esse exercício, vamos precisar saber como integrar funções de múltiplas variáveis e aplicar os limites de integração corretamente.

Passo 2

Vamos começar realizando a integral interna, que é em relação a integral0^3 x^2 y , dy . A função que vamos integrar é integral y , dy = y^22 . Nessa etapa, tratamos x^2 cdot integral0^3 y , dy = x^2 cdot [ y^22 ]0^3 como uma constante porque estamos integrando em relação a x^2 cdot ( 3^22 - 0^22 ) = x^2 cdot 92 = 92 x^2 .
Para resolver essa integral, usamos a regra de integração para polinômios:
Aplicando isso, temos:
Calculando os limites de integração:

Passo 3

Agora, vamos realizar a integral externa, que é em relação a integral1^2 92 x^2 , dx . Utilizamos o resultado da integral interna:
92 cdot integral1^2 x^2 , dx
Fatorando a constante integral x^2 , dx = x^33 :
92 cdot [ x^33 ]1^2 = 92 cdot ( 2^33 - 1^33 ) = 92 cdot ( 8 - 13 )
Integrando 92 cdot 73 = 636 = 212 = 10,!5 :
Aplicando os limites de integração:
Simplificando:

Resposta

O valor da integral dupla é ou 10,5.

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