Calcule o valor das integrais iteradas: Calcule a integral dupla
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral dupla
, onde a região
é definida por
e
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais iteradas, que envolvem integrar primeiro uma variável e depois a outra dentro dos limites fornecidos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. Ela é um retângulo no plano
, onde
varia de 0 a 1 e
varia de 1 a 2. Isso facilita a configuração da integral dupla como uma integral iterada. A integral dupla pode ser escrita como:
Passo 3
Vamos resolver a integral interna, que é em relação a
:
Integramos termo a termo:
Avaliado de 0 a 1:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral externa, que é em relação a
:
Integrando termo a termo:
Avaliado de 1 a 2:
Resposta
O valor da integral dupla é
.