Calcule o valor das integrais iteradas: Calcule a integral dupla integral duplaR(x-3 y^2) d A onde R=(x, y) mid 0 <= x <= 1,1 <= y <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral dupla , onde a região é definida por e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais iteradas, que envolvem integrar primeiro uma variável e depois a outra dentro dos limites fornecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região integraly=1^2 integralx=0^1 (x - 3y^2) dx , dy . Ela é um retângulo no plano , onde varia de 0 a 1 e varia de 1 a 2. Isso facilita a configuração da integral dupla como uma integral iterada. A integral dupla pode ser escrita como:

Passo 3

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a integral0^1 (x - 3y^2) dx :
integral x , dx - integral 3y^2 , dx = 12x^2 - 3y^2x
Integramos termo a termo:
(12(1)^2 - 3y^2(1)) - (12(0)^2 - 3y^2(0)) = 12 - 3y^2
Avaliado de 0 a 1:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral externa, que é em relação a integral1^2 (12 - 3y^2) dy :
12y - y^3
Integrando termo a termo:
(12(2) - (2)^3) - (12(1) - (1)^3) = (1 - 8) - (12 - 1) = (-7) - (-12) = -6.5
Avaliado de 1 a 2:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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