Calcule as seguintes integrais que envolvem potências de funçōes trigonométricas:
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Passo 1
Beleza, então a gente tem que calcular a integral de
em relação a
. Esse problema envolve funções trigonométricas e suas potências. Para resolver, a gente vai precisar usar identidades trigonométricas que ajudam a simplificar expressões com potências de seno e cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
e
podem ser reescritas usando a identidade trigonométrica:
Isso vai ajudar a simplificar a expressão que estamos integrando.
Passo 3
Agora, vamos substituir essas identidades na nossa integral:
Multiplicando os termos dentro dos parênteses:
Passo 4
Simplificamos a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiramente:
Agora, para a segunda parte, usamos novamente a identidade para
:
Passo 6
Substituindo na integral:
Integrando termo a termo:
Passo 7
Juntando tudo, temos:
Resposta
A integral de
é:
onde
é a constante de integração.