Calcule as seguintes integrais que envolvem potências de funçōes trigonométricas:
© integral sen^2(x) cos ^2(x) d x

Passo 1

Beleza, então a gente tem que calcular a integral de sin^2(x) cos^2(x) em relação a x. Esse problema envolve funções trigonométricas e suas potências. Para resolver, a gente vai precisar usar identidades trigonométricas que ajudam a simplificar expressões com potências de seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que sin^2(x) e cos^2(x) podem ser reescritas usando a identidade trigonométrica:
sin^2(x) = 1 - cos(2x)2
cos^2(x) = 1 + cos(2x)2
Isso vai ajudar a simplificar a expressão que estamos integrando.

Passo 3

Agora, vamos substituir essas identidades na nossa integral:
integral sin^2(x) cos^2(x) , dx = integral ( 1 - cos(2x)2 ) ( 1 + cos(2x)2 ) dx
Multiplicando os termos dentro dos parênteses:
= integral (1 - cos^2(2x))4 , dx

Passo 4

Simplificamos a expressão dentro da integral:
1 - cos^2(2x)4 = 14 - cos^2(2x)4
Então, a integral fica:
integral ( 14 - cos^2(2x)4 ) dx = 14 integral 1 , dx - 14 integral cos^2(2x) , dx

Passo 5

Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiramente:
14 integral 1 , dx = 14 x
Agora, para a segunda parte, usamos novamente a identidade para cos^2(2x):
cos^2(2x) = 1 + cos(4x)2

Passo 6

Substituindo na integral:
- 14 integral cos^2(2x) , dx = - 14 integral 1 + cos(4x)2 , dx = - 18 integral (1 + cos(4x)) , dx
Integrando termo a termo:
= - 18 ( integral 1 , dx + integral cos(4x) , dx ) = - 18 ( x + sin(4x)4 )

Passo 7

Juntando tudo, temos:
14 x - 18 x - 132 sin(4x) = ( 14 - 18 ) x - 132 sin(4x) = 18 x - 132 sin(4x)

Resposta

A integral de sin^2(x) cos^2(x) , dx é:
18 x - 132 sin(4x) + C
onde C é a constante de integração.

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