Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
(x) integral ln ^3(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando integração por partes. A matéria que estamos lidando aqui é o cálculo de integrais, especificamente usando a técnica de integração por partes. Para isso, vamos precisar conhecer a fórmula de integração por partes: .

Passo 2

Primeiro, precisamos escolher qual parte da nossa integral será e qual será . Vamos deixar porque, ao derivar, a potência baixa, o que facilita, e .

Passo 3

Agora, vamos derivar du = 3 ln^2(x) cdot 1x , dx = 3 ln^2(x)x , dx e integrar v = integral dv = integral dx = x :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral ln^3(x) , dx = u cdot v - integral v , du = x ln^3(x) - integral x cdot 3 ln^2(x)x , dx
Simplificando a integral:
integral ln^3(x) , dx = x ln^3(x) - 3 integral ln^2(x) , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver . Vamos aplicar integração por partes novamente, desta vez com e .

Passo 6

Derivamos du = 2 ln(x) cdot 1x , dx = 2 ln(x)x , dx e integramos v = integral dx = x :

Passo 7

Aplicando integração por partes:
integral ln^2(x) , dx = x ln^2(x) - integral x cdot 2 ln(x)x , dx
Simplificando:
integral ln^2(x) , dx = x ln^2(x) - 2 integral ln(x) , dx

Passo 8

Agora, precisamos calcular . Mais uma vez, usamos integração por partes com e .

Passo 9

Derivando du = 1x , dx e integrando v = integral dx = x :

Passo 10

Aplicando integração por partes:
integral ln(x) , dx = x ln(x) - integral x cdot 1x , dx = x ln(x) - integral 1 , dx = x ln(x) - x

Passo 11

Voltando para integral ln^2(x) , dx = x ln^2(x) - 2 (x ln(x) - x) = x ln^2(x) - 2x ln(x) + 2x :

Passo 12

Agora, retornamos para a integral original:
integral ln^3(x) , dx = x ln^3(x) - 3 ( x ln^2(x) - 2x ln(x) + 2x )
Distribuindo o -3:
integral ln^3(x) , dx = x ln^3(x) - 3x ln^2(x) + 6x ln(x) - 6x

Resposta

integral ln^3(x) , dx = x ln^3(x) - 3x ln^2(x) + 6x ln(x) - 6x + C
Onde é a constante de integração.

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