Calcule as seguintes integrais que envolvem potências de funçōes trigonométricas:
(g) integral cos ^4(x)sen^6(x) d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de uma função que envolve potências de funções trigonométricas, especificamente:
Para resolver essa integral, vamos utilizar técnicas de cálculo que envolvem identidades trigonométricas e substituição. Precisaremos lembrar de como expressar potências de cosseno em termos de seno e vice-versa, além de conhecer as integrais de funções trigonométricas elevadas a potências.

Passo 2

Vamos começar simplificando a expressão dentro da integral. Sabemos que podemos escrever cos^4(x) = (cos^2(x))^2 = (1 - sen^2(x))^2 = 1 - 2sen^2(x) + sen^4(x) usando a identidade . Então,
Substituindo essa expressão na integral original:

Passo 3

Vamos dividir cada termo do numerador pelo denominador:
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos reescrever as frações usando a função , que é o inverso de :
Então,
Nossa integral agora é:

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente. Vamos lembrar que as integrais de podem ser resolvidas utilizando identidades trigonométricas e técnicas de substituição.
Primeiro, integrando :
Sabemos que:
Em seguida, integrando :
E sabemos que:

Passo 6

Agora, substituindo as integrais anteriores:
Simplificando:
Agora, integrando os outros termos da nossa expressão original:

Passo 7

Agora, somando todas as integrais:
Simplificando os termos semelhantes:
Calculando os coeficientes:
-cosec^4(x) cot(x)5 - 215 cosec^2(x) cot(x) - 415 cot(x) + 23 cosec^2(x) cot(x) + 43 cot(x) - cot(x) + C
-cosec^4(x) cot(x)5 + ( -215 + 23 ) cosec^2(x) cot(x) + ( -415 + 43 - 1 ) cot(x) + C
Então, a expressão simplificada é:

Resposta

A integral calculada é:
Onde integral cos^4(x)sen^6(x) , dx = -cosec^4(x) cot(x)5 + 815 cosec^2(x) cot(x) + 115 cot(x) + C é a constante de integração.

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