Calcule as seguintes integrais que envolvem potências de funçōes trigonométricas:
(g)
(g)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de uma função que envolve potências de funções trigonométricas, especificamente:
Para resolver essa integral, vamos utilizar técnicas de cálculo que envolvem identidades trigonométricas e substituição. Precisaremos lembrar de como expressar potências de cosseno em termos de seno e vice-versa, além de conhecer as integrais de funções trigonométricas elevadas a potências.
Passo 2
Vamos começar simplificando a expressão dentro da integral. Sabemos que podemos escrever
usando a identidade . Então,
Substituindo essa expressão na integral original:
Passo 3
Vamos dividir cada termo do numerador pelo denominador:
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos reescrever as frações usando a função , que é o inverso de :
Então,
Nossa integral agora é:
Passo 5
Vamos integrar cada termo separadamente. Vamos lembrar que as integrais de podem ser resolvidas utilizando identidades trigonométricas e técnicas de substituição.
Primeiro, integrando :
Sabemos que:
Em seguida, integrando :
E sabemos que:
Passo 6
Agora, substituindo as integrais anteriores:
Simplificando:
Agora, integrando os outros termos da nossa expressão original:
Passo 7
Agora, somando todas as integrais:
Simplificando os termos semelhantes:
Calculando os coeficientes:
Então, a expressão simplificada é:
Resposta
A integral calculada é:
Onde
é a constante de integração.