Calcule as seguintes integrais usando primeiramente o método de substituição e depois, integração por partes:
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de Cálculo, especificamente em técnicas de integração. Vamos usar dois métodos diferentes para resolver: o método de substituição e o método de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos usar o método de substituição. Esse método é útil quando conseguimos identificar uma parte da integral que pode ser substituída por uma nova variável, simplificando a integral.
Vamos começar identificando uma parte da função que pode ser a nossa substituição. Observando , notamos que pode ser uma boa escolha para a substituição.

Passo 3

Definimos nossa substituição:
Agora, derivamos em relação a para encontrar :
Queremos expressar em termos de e . Observamos que:
Então, multiplicando ambos os lados por :

Passo 4

Substituímos na integral original:
Agora, precisamos resolver , que vamos fazer usando o método de integração por partes.

Passo 5

O método de integração por partes é baseado na fórmula:
Vamos aplicar isso à integral .
Primeiro, escolhemos:
Aplicando a fórmula:

Passo 6

Agora, precisamos resolver usando novamente a integração por partes.
Escolhemos:
Aplicando a fórmula:
Integrando :
Então:

Passo 7

Voltando à integral original:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Agora, substituímos de volta na expressão:
Simplificando:

Resposta

A integral é:

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