Calcule as seguintes integrais usando primeiramente o método de substituição e depois, integração por partes:
(b) integral x^11 cos (x^4) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de Cálculo, especificamente em técnicas de integração. Vamos usar dois métodos diferentes para resolver: o método de substituição e o método de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos usar o método de substituição. Esse método é útil quando conseguimos identificar uma parte da integral que pode ser substituída por uma nova variável, simplificando a integral.
Vamos começar identificando uma parte da função que pode ser a nossa substituição. Observando , notamos que pode ser uma boa escolha para a substituição.

Passo 3

Definimos nossa substituição:
u = x^4
Agora, derivamos dudx = 4x^3 Rightarrow du = 4x^3 , dx em relação a x^11 = x^8 cdot x^3 = (x^4)^2 cdot x^3 = u^2 cdot x^3 para encontrar x^11 , dx = u^2 cdot x^3 , dx = u^2 cdot (du4) = u^24 , du :
Queremos expressar em termos de e . Observamos que:
Então, multiplicando ambos os lados por :

Passo 4

Substituímos na integral original:
integral x^11 cos (x^4) , dx = integral u^24 cos(u) , du = 14 integral u^2 cos(u) , du
Agora, precisamos resolver , que vamos fazer usando o método de integração por partes.

Passo 5

O método de integração por partes é baseado na fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos aplicar isso à integral w = u^2 Rightarrow dw = 2u , du dv = cos(u) , du Rightarrow v = sin(u) .
Primeiro, escolhemos:
integral u^2 cos(u) , du = u^2 sin(u) - integral 2u sin(u) , du
Aplicando a fórmula:

Passo 6

Agora, precisamos resolver w = 2u Rightarrow dw = 2 , du dv = sin(u) , du Rightarrow v = -cos(u) usando novamente a integração por partes.
Escolhemos:
integral 2u sin(u) , du = 2u (-cos(u)) - integral 2 (-cos(u)) , du = -2u cos(u) + 2 integral cos(u) , du
Aplicando a fórmula:
2 integral cos(u) , du = 2 sin(u)
Integrando integral 2u sin(u) , du = -2u cos(u) + 2 sin(u) :
Então:

Passo 7

Voltando à integral original:
integral u^2 cos(u) , du = u^2 sin(u) - ( -2u cos(u) + 2 sin(u) ) = u^2 sin(u) + 2u cos(u) - 2 sin(u) + C
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Agora, substituímos 14 ( x^8 sin(x^4) + 2x^4 cos(x^4) - 2 sin(x^4) ) + C de volta na expressão:
14 x^8 sin(x^4) + 12 x^4 cos(x^4) - 12 sin(x^4) + C
Simplificando:

Resposta

A integral 14 x^8 sin(x^4) + 12 x^4 cos(x^4) - 12 sin(x^4) + C é:

Exercícios relacionados