Calcule as seguintes integrais usando primeiramente o método de substituição e depois, integração por partes:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício está na área de Cálculo, especificamente em técnicas de integração. Vamos usar dois métodos diferentes para resolver: o método de substituição e o método de integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos usar o método de substituição. Esse método é útil quando conseguimos identificar uma parte da integral que pode ser substituída por uma nova variável, simplificando a integral.
Vamos começar identificando uma parte da função que pode ser a nossa substituição. Observando
, notamos que
pode ser uma boa escolha para a substituição.
Passo 3
Definimos nossa substituição:
Agora, derivamos
em relação a
para encontrar
:
Queremos expressar
em termos de
e
. Observamos que:
Então, multiplicando ambos os lados por
:
Passo 4
Substituímos na integral original:
Agora, precisamos resolver
, que vamos fazer usando o método de integração por partes.
Passo 5
O método de integração por partes é baseado na fórmula:
Vamos aplicar isso à integral
.
Primeiro, escolhemos:
Aplicando a fórmula:
Passo 6
Agora, precisamos resolver
usando novamente a integração por partes.
Escolhemos:
Aplicando a fórmula:
Integrando
:
Então:
Passo 7
Voltando à integral original:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Agora, substituímos
de volta na expressão:
Simplificando:
Resposta
A integral
é:
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®
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©
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(g)
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