Calcule as seguintes integrais, usando substituição trigonométrica:
© integral d xx^2 raiz5-x^2

Passo 1

Então, temos que calcular a integral . Vamos usar a substituição trigonométrica, que é uma técnica útil para resolver integrais que envolvem expressões quadráticas dentro de raízes. Para isso, precisamos lembrar de algumas identidades trigonométricas e como aplicá-las para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, identificamos que dentro da raiz temos x = raiz5 sin theta . Isso se assemelha à forma dx = raiz5 cos theta , dtheta , onde . A substituição trigonométrica apropriada para isso é . Então, fazemos:
Dessa forma, será:

Passo 3

Substituímos integral dxx^2 raiz5 - x^2 = integral raiz5 cos theta , dtheta5 sin^2 theta raiz5 - 5 sin^2 theta e raiz5 - 5 sin^2 theta = raiz5 (1 - sin^2 theta) = raiz5 cos theta na integral:
integral raiz5 cos theta , dtheta5 sin^2 theta cdot raiz5 cos theta = integral dtheta5 sin^2 theta
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Portanto, a integral fica:

Passo 4

Agora, simplificamos a integral:
integral dtheta5 sin^2 theta = 15 integral csc^2 theta , dtheta
Sabemos que a integral de 15 integral csc^2 theta , dtheta = -15 cot theta + C é , então:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, precisamos voltar para a variável original x = raiz5 sin theta implies sin theta = xraiz5 . Sabemos que:
cot theta = cos thetasin theta = raiz5 - x^2x
Desenhando um triângulo retângulo, temos que:
-15 cot theta = -15 cdot raiz5 - x^2x
Portanto:

Resposta

A integral -raiz5 - x^25x + C é igual a:

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