Calcule as seguintes integrais que envolvem potências de funçōes trigonométricas:
(d)

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral . Aqui, estamos lidando com potências de funções trigonométricas, especificamente o seno elevado à quinta potência dividido pela raiz quadrada do cosseno. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral para facilitar a visualização:

Passo 3

Observando a potência ímpar de seno, uma boa estratégia é separar uma potência de seno e usar a identidade trigonométrica. Vamos expressar como :

Passo 4

Agora, usamos a identidade para substituir:
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja . Então, a derivada de em relação a é:

Passo 6

Substituindo e na integral:

Passo 7

Vamos expandir :
Substituindo de volta na integral:

Passo 8

Agora, integramos termo a termo:
Calculando as integrais:

Passo 9

Substituindo de volta:
Onde é a constante de integração.

Passo 10

Finalmente, substituímos para voltar à variável original:

Resposta

A integral é igual a:

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Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
(w)
Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
(q)
Calcule as seguintes integrais que envolvem potências de funçōes trigonométricas:
(i)
Calcule as seguintes integrais, usando substituição trigonométrica:
(d)