Calcule as seguintes integrais que envolvem potências de funçōes trigonométricas:
(d) integral sen^5(x)raizcos (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral integral sen^5(x)raizcos (x) , dx. Aqui, estamos lidando com potências de funções trigonométricas, especificamente o seno elevado à quinta potência dividido pela raiz quadrada do cosseno. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral para facilitar a visualização:
integral sin^5(x)raizcos(x) , dx = integral sin^5(x)(cos(x))^1/2 , dx

Passo 3

Observando a potência ímpar de seno, uma boa estratégia é separar uma potência de seno e usar a identidade trigonométrica. Vamos expressar sin^5(x) como sin^4(x) cdot sin(x):
sin^5(x) = (sin^2(x))^2 cdot sin(x)

Passo 4

Agora, usamos a identidade sin^2(x) = 1 - cos^2(x) para substituir:
(sin^2(x))^2 = (1 - cos^2(x))^2
Então, a integral fica:
integral (1 - cos^2(x))^2 cdot sin(x)(cos(x))^1/2 , dx

Passo 5

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja u = cos(x). Então, a derivada de u em relação a x é:
du = -sin(x) , dx Rightarrow sin(x) , dx = -du

Passo 6

Substituindo u e du na integral:
integral (1 - u^2)^2 cdot (-du)u^1/2 = -integral (1 - u^2)^2u^1/2 , du

Passo 7

Vamos expandir (1 - u^2)^2:
(1 - u^2)^2 = 1 - 2u^2 + u^4
Substituindo de volta na integral:
- integral 1 - 2u^2 + u^4u^1/2 , du = - integral ( u^-1/2 - 2u^3/2 + u^7/2 ) , du

Passo 8

Agora, integramos termo a termo:
- ( integral u^-1/2 , du - 2 integral u^3/2 , du + integral u^7/2 , du )
Calculando as integrais:
integral u^-1/2 , du = 2u^1/2 integral u^3/2 , du = 25u^5/2 integral u^7/2 , du = 29u^9/2

Passo 9

Substituindo de volta:
- ( 2u^1/2 - 45u^5/2 + 29u^9/2 ) + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 10

Finalmente, substituímos u = cos(x) para voltar à variável original:
-2raizcos(x) + 45(cos(x))^5/2 - 29(cos(x))^9/2 + C

Resposta

A integral é igual a:
-2raizcos(x) + 45cos^5/2(x) - 29cos^9/2(x) + C

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