Calcule as seguintes integrais que envolvem potências de funçōes trigonométricas:
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral
. Aqui, estamos lidando com potências de funções trigonométricas, especificamente o seno elevado à quinta potência dividido pela raiz quadrada do cosseno. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica que simplifique a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a integral para facilitar a visualização:
Passo 3
Observando a potência ímpar de seno, uma boa estratégia é separar uma potência de seno e usar a identidade trigonométrica. Vamos expressar
como
:
Passo 4
Agora, usamos a identidade
para substituir:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Passo 6
Substituindo
e
na integral:
Passo 7
Vamos expandir
:
Substituindo de volta na integral:
Passo 8
Agora, integramos termo a termo:
Calculando as integrais:
Passo 9
Substituindo de volta:
Onde
é a constante de integração.
Passo 10
Finalmente, substituímos
para voltar à variável original:
Resposta
A integral é igual a:
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Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
(w)
(w)
Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
(q)
(q)
Calcule as seguintes integrais que envolvem potências de funçōes trigonométricas:
(i)
(i)
Calcule as seguintes integrais, usando substituição trigonométrica:
(d)
(d)