Calcule as seguintes integrais que envolvem potências de funçōes trigonométricas:
(i) integral sen^3(y) cos ^4(y) d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício envolve potências de funções trigonométricas, especificamente seno e cosseno. Para resolver, vamos usar algumas identidades trigonométricas e a técnica de substituição, que nos ajuda a simplificar integrais complexas.

Passo 2

Primeiro, observe que temos que é uma potência ímpar do seno. Quando temos uma potência ímpar de seno ou cosseno, uma boa estratégia é separar um fator para usar na substituição. Vamos reescrever como .

Passo 3

Agora, usamos a identidade trigonométrica integral sin^3(y) cos^4(y) , dy = integral (1 - cos^2(y)) cdot sin(y) cdot cos^4(y) , dy para substituir :

Passo 4

Simplificamos a expressão multiplicando os termos:
integral (1 - cos^2(y)) cdot sin(y) cdot cos^4(y) , dy = integral sin(y) cos^4(y) , dy - integral sin(y) cos^6(y) , dy

Passo 5

Agora, fazemos a substituição integral sin(y) cos^4(y) , dy = -integral u^4 , du . Então, integral sin(y) cos^6(y) , dy = -integral u^6 , du ou . Vamos substituir na integral:

Passo 6

Integrando em termos de -integral u^4 , du = -u^55 + C :
-integral u^6 , du = -u^77 + C

Passo 7

Voltamos para a variável original -cos^5(y)5 + cos^7(y)7 + C , substituindo :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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