Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
(w) integral x sec ^2(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral usando integração por partes. Isso faz parte da matéria de cálculo integral, especificamente na técnica de integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar lembrar qual é a fórmula da integração por partes e identificar quais partes da nossa integral correspondem a e .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral será e qual será . A regra geral é escolher como a função que fica mais simples quando derivada.
No nosso caso, vamos escolher:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du = ddx(x) , dx = 1 , dx e v = integral sec^2(x) , dx = tan(x) :
Para encontrar , integremos :
Lembrando que a integral de é .

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral x sec^2(x) , dx = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= x tan(x) - integral tan(x) cdot 1 , dx
= x tan(x) - integral tan(x) , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral integral tan(x) , dx = -ln|cos(x)| + C . Sabemos que:
= x tan(x) - (-ln|cos(x)|) + C
Então, substituindo de volta:
= x tan(x) + ln|cos(x)| + C

Resposta

A integral x tan(x) + ln|cos(x)| + C é igual a:

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