Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
(q)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral . Esse tipo de integral envolve integração por partes, que é uma técnica da matéria de cálculo para integrar produtos de funções. Vamos precisar aplicar essa técnica várias vezes para resolver completamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, a gente escolhe duas partes da nossa integral para serem e . Uma boa dica é deixar ser a parte que simplifica quando derivamos, e ser algo fácil de integrar.
Vamos escolher:
  • (porque ao derivar, o grau diminui)
  • (fácil de integrar)

Passo 3

Agora, vamos calcular e :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Agora, temos uma nova integral que também precisa ser resolvida por integração por partes. Vamos repetir o processo.

Passo 5

Para , escolhemos:
Calculando e :
Aplicando a fórmula:
Substituindo de volta na expressão anterior:

Passo 6

Continuando com , escolhemos:
Calculando e :
Aplicando a fórmula:
Substituindo de volta:

Passo 7

Agora, para , escolhemos:
Calculando e :
Aplicando a fórmula:
Substituindo de volta:

Resposta

Finalizando tudo, a integral é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
(j).
Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
(e)
Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
(w)
Calcule as seguintes integrais que envolvem potências de funçōes trigonométricas:
(d)