Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
(q) integral x^4 e^x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral . Esse tipo de integral envolve integração por partes, que é uma técnica da matéria de cálculo para integrar produtos de funções. Vamos precisar aplicar essa técnica várias vezes para resolver completamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, a gente escolhe duas partes da nossa integral para serem e . Uma boa dica é deixar ser a parte que simplifica quando derivamos, e ser algo fácil de integrar.
Vamos escolher:
  • (porque ao derivar, o grau diminui)
  • (fácil de integrar)

Passo 3

Agora, vamos calcular du = ddx(x^4) dx = 4x^3 dx e v = integral e^x dx = e^x :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x^4 e^x dx = u cdot v - integral v cdot du
= x^4 e^x - integral e^x cdot 4x^3 dx
= x^4 e^x - 4 integral x^3 e^x dx
Agora, temos uma nova integral que também precisa ser resolvida por integração por partes. Vamos repetir o processo.

Passo 5

Para du = 3x^2 dx , escolhemos:
  • v = e^x
  • integral x^3 e^x dx = x^3 e^x - integral e^x cdot 3x^2 dx
Calculando = x^3 e^x - 3 integral x^2 e^x dx e integral x^4 e^x dx = x^4 e^x - 4 ( x^3 e^x - 3 integral x^2 e^x dx ) :
= x^4 e^x - 4x^3 e^x + 12 integral x^2 e^x dx
Aplicando a fórmula:
Substituindo de volta na expressão anterior:

Passo 6

Continuando com du = 2x dx , escolhemos:
  • v = e^x
  • integral x^2 e^x dx = x^2 e^x - integral e^x cdot 2x dx
Calculando = x^2 e^x - 2 integral x e^x dx e integral x^4 e^x dx = x^4 e^x - 4x^3 e^x + 12 ( x^2 e^x - 2 integral x e^x dx ) :
= x^4 e^x - 4x^3 e^x + 12x^2 e^x - 24 integral x e^x dx
Aplicando a fórmula:
Substituindo de volta:

Passo 7

Agora, para du = dx , escolhemos:
  • v = e^x
  • integral x e^x dx = x e^x - integral e^x dx
Calculando = x e^x - e^x e integral x^4 e^x dx = x^4 e^x - 4x^3 e^x + 12x^2 e^x - 24 ( x e^x - e^x ) :
= x^4 e^x - 4x^3 e^x + 12x^2 e^x - 24x e^x + 24 e^x
Aplicando a fórmula:
Substituindo de volta:

Resposta

Finalizando tudo, a integral é:
integral x^4 e^x dx = e^x ( x^4 - 4x^3 + 12x^2 - 24x + 24 ) + C
Onde é a constante de integração.

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