Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
(q)
(q)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral
. Esse tipo de integral envolve integração por partes, que é uma técnica da matéria de cálculo para integrar produtos de funções. Vamos precisar aplicar essa técnica várias vezes para resolver completamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, a gente escolhe duas partes da nossa integral para serem
e
. Uma boa dica é deixar
ser a parte que simplifica quando derivamos, e
ser algo fácil de integrar.
Vamos escolher:
-
(porque ao derivar, o grau diminui) -
(fácil de integrar)
Passo 3
Agora, vamos calcular
e
:
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Agora, temos uma nova integral
que também precisa ser resolvida por integração por partes. Vamos repetir o processo.
Passo 5
Para
, escolhemos:
Calculando
e
:
Aplicando a fórmula:
Substituindo de volta na expressão anterior:
Passo 6
Continuando com
, escolhemos:
Calculando
e
:
Aplicando a fórmula:
Substituindo de volta:
Passo 7
Agora, para
, escolhemos:
Calculando
e
:
Aplicando a fórmula:
Substituindo de volta:
Resposta
Finalizando tudo, a integral é:
Onde
é a constante de integração.
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Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
(j).
(j).
Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
(e)
(e)
Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
(w)
(w)
Calcule as seguintes integrais que envolvem potências de funçōes trigonométricas:
(d)
(d)