Calcule as seguintes integrais, usando substituição trigonométrica:
(d) integral d xraizx^2-7

Passo 1

Vamos resolver a integral integral dxraizx^2-7. Ela envolve uma expressão quadrática dentro da raiz, então vamos usar substituição trigonométrica para simplificar.

Passo 2

Primeiro, identificamos que temos a forma raizx^2 - a^2, onde a = raiz7. Para esse caso, a substituição trigonométrica adequada é:
x = a sec theta = raiz7 sec theta

Passo 3

Calculamos o diferencial dx em termos de theta. Derivando x = raiz7 sec theta:
dx = raiz7 sec theta tan theta , dtheta

Passo 4

Substituímos x e dx na integral original:
integral dxraizx^2-7 = integral raiz7 sec theta tan theta , dthetaraiz7 sec^2 theta - 7
Simplificando o denominador:
raiz7 sec^2 theta - 7 = raiz7(sec^2 theta - 1) = raiz7 tan^2 theta = raiz7 tan theta

Passo 5

A integral fica então:
integral raiz7 sec theta tan theta , dthetaraiz7 tan theta = integral sec theta , dtheta

Passo 6

Sabemos que:
integral sec theta , dtheta = ln |sec theta + tan theta| + C

Passo 7

Agora, voltamos para a variável x. Sabemos que:
sec theta = xraiz7 e tan theta = raizx^2 - 7raiz7
Substituindo na expressão:
ln | xraiz7 + raizx^2 - 7raiz7 | + C = ln | x + raizx^2 - 7raiz7 | + C
Podemos simplificar removendo o denominador dentro do logaritmo:
ln |x + raizx^2 - 7| + C

Resposta

A integral é igual a ln |x + raizx^2 - 7| + C.

Exercícios relacionados