Calcule as seguintes integrais que envolvem potências de funçōes trigonométricas:
(f)
.
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral que envolve potências da função cotangente. O enunciado pede para calcular
. Vamos trabalhar com trigonometria e técnicas de integração usando identidades trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
pode ser reescrita usando a identidade trigonométrica
. Então, para simplificar a integral, substituímos
:
Passo 3
Agora, substituímos
na integral original:
Passo 4
Vamos simplificar
. Sabemos que
. Usando a identidade anterior:
Passo 5
Substituímos
na integral:
Passo 6
Agora, combinamos os termos semelhantes:
Passo 7
Para integrar
e
, usamos a identidade
e sabemos que
.
Vamos separar a integral:
Passo 8
Para
, usamos a identidade:
Mas isso complica. Em vez disso, usamos a fórmula de redução para integrar
:
Passo 9
Para
:
Passo 10
Agora, juntamos os resultados:
Os termos
e
se cancelam.
Resposta
A integral
é igual a
, onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais que envolvem potências de funçōes trigonométricas:
(a)
(a)
Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
(v)
(v)
Calcule as seguintes integrais, usando substituição trigonométrica:
(a)
(a)
Calcule as seguintes integrais, usando substituição trigonométrica:
(j)
(j)