Calcule as seguintes integrais que envolvem potências de funçōes trigonométricas:
(f) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que envolve potências da função cotangente. O enunciado pede para calcular . Vamos trabalhar com trigonometria e técnicas de integração usando identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que pode ser reescrita usando a identidade trigonométrica . Então, para simplificar a integral, substituímos :

Passo 3

Agora, substituímos na integral original:

Passo 4

Vamos simplificar . Sabemos que . Usando a identidade anterior:

Passo 5

Substituímos na integral:

Passo 6

Agora, combinamos os termos semelhantes:

Passo 7

Para integrar e , usamos a identidade e sabemos que .
Vamos separar a integral:

Passo 8

Para , usamos a identidade:
Mas isso complica. Em vez disso, usamos a fórmula de redução para integrar :

Passo 9

Para :

Passo 10

Agora, juntamos os resultados:
Os termos e se cancelam.

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais que envolvem potências de funçōes trigonométricas:
(a)
Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
(v)
Calcule as seguintes integrais, usando substituição trigonométrica:
(a)
Calcule as seguintes integrais, usando substituição trigonométrica:
(j)