Calcule as seguintes integrais que envolvem potências de funçōes trigonométricas:
(f) integral(cotg^2(2 x)+cotg^4(2 x)) d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que envolve potências da função cotangente. O enunciado pede para calcular . Vamos trabalhar com trigonometria e técnicas de integração usando identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que cot^2(2x) = csc^2(2x) - 1 pode ser reescrita usando a identidade trigonométrica . Então, para simplificar a integral, substituímos :

Passo 3

Agora, substituímos integral(csc^2(2x) - 1 + cot^4(2x)) dx na integral original:

Passo 4

Vamos simplificar cot^4(2x) = (csc^2(2x) - 1)^2 = csc^4(2x) - 2csc^2(2x) + 1 . Sabemos que . Usando a identidade anterior:

Passo 5

Substituímos integral(csc^2(2x) - 1 + csc^4(2x) - 2csc^2(2x) + 1) dx na integral:

Passo 6

Agora, combinamos os termos semelhantes:
integral(csc^4(2x) - csc^2(2x)) dx

Passo 7

Para integrar integral csc^4(2x) dx - integral csc^2(2x) dx e , usamos a identidade e sabemos que .
Vamos separar a integral:

Passo 8

Para csc^4(2x) = (csc^2(2x))^2 = (1 + cot^2(2x))^2 = 1 + 2cot^2(2x) + cot^4(2x) , usamos a identidade:
integral csc^4(2x) dx = -cot(2x)2 - cot^3(2x) cdot 16 + C
Mas isso complica. Em vez disso, usamos a fórmula de redução para integrar :

Passo 9

Para integral csc^2(2x) dx = -cot(2x)2 + C :

Passo 10

Agora, juntamos os resultados:
-cot(2x)2 - cot^3(2x)6 + cot(2x)2 + C
Os termos e se cancelam.

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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