Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
(v) integral x arcsen(x)raiz1-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcularmos a integral de . Isso envolve integração por partes, que é uma técnica útil quando temos o produto de duas funções. Para isso, precisamos identificar partes da integral que serão e .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher e :
  • (porque vamos derivar e simplificar)
  • (isso vai nos ajudar a encontrar integrando )

Passo 3

Agora, vamos derivar e integrar :
  • Derivada de :
  • Integração de : Para encontrar , precisamos integrar . Fazendo uma substituição simples , obtemos

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes, que é integral x arcsen(x)raiz1-x^2 , dx = arcsen(x) cdot (-raiz1 - x^2) - integral (-raiz1 - x^2) cdot 1raiz1-x^2 , dx , temos:

Passo 5

Simplificando a expressão:
A integral de 1 em relação a -arcsen(x) raiz1 - x^2 + integral 1 , dx é simplesmente .

Passo 6

Juntando tudo, temos:
onde -arcsen(x) raiz1 - x^2 + x + C é a constante de integração.

Resposta

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