Calcule as seguintes integrais, usando substituição trigonométrica:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral
. Esse exercício usa um método chamado substituição trigonométrica, que é super útil quando temos raízes quadradas envolvendo expressões quadráticas, tipo
. Vamos precisar lembrar de algumas identidades trigonométricas e como fazer a substituição para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma substituição trigonométrica adequada para
. Observamos que
se parece com
, onde
. Nesse caso, usamos a substituição:
Então, aqui, ficaria:
Passo 3
Com essa substituição, precisamos encontrar
em termos de
. Derivando ambos os lados:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na integral original:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos simplificar
. Sabemos que:
E também sabemos que:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, integramos termo a termo:
Então, a integral completa é:
Passo 7
Agora, precisamos voltar à variável original
. Lembrando que
, podemos desenhar um triângulo retângulo para expressar
e
em termos de
.
No triângulo:
- O lado oposto a
é . - A hipotenusa é
, então o lado adjacente é .
Então:
E:
Passo 8
Substituindo de volta, temos:
Resposta
Então, a integral
é igual a:
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais que envolvem potências de funçōes trigonométricas:
(f) .
(f)
Calcule as seguintes integrais que envolvem potências de funçōes trigonométricas:
(a)
(a)
Calcule as seguintes integrais, usando substituição trigonométrica:
(j)
(j)
Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
(z)
(z)