Calcule as seguintes integrais, usando substituição trigonométrica:
(a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral . Esse exercício usa um método chamado substituição trigonométrica, que é super útil quando temos raízes quadradas envolvendo expressões quadráticas, tipo . Vamos precisar lembrar de algumas identidades trigonométricas e como fazer a substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição trigonométrica adequada para . Observamos que se parece com , onde . Nesse caso, usamos a substituição:
Então, aqui, ficaria:

Passo 3

Com essa substituição, precisamos encontrar em termos de . Derivando ambos os lados:

Passo 4

Agora, substituímos e na integral original:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos simplificar . Sabemos que:
E também sabemos que:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, integramos termo a termo:
Então, a integral completa é:

Passo 7

Agora, precisamos voltar à variável original . Lembrando que , podemos desenhar um triângulo retângulo para expressar e em termos de .
No triângulo:
  • O lado oposto a é .
  • A hipotenusa é , então o lado adjacente é .
Então:
E:

Passo 8

Substituindo de volta, temos:

Resposta

Então, a integral é igual a:

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Calcule as seguintes integrais que envolvem potências de funçōes trigonométricas:
(f) .
Calcule as seguintes integrais que envolvem potências de funçōes trigonométricas:
(a)
Calcule as seguintes integrais, usando substituição trigonométrica:
(j)
Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
(z)