Calcule as seguintes integrais, usando substituição trigonométrica:
(a) integral raiz16-x^2x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral . Esse exercício usa um método chamado substituição trigonométrica, que é super útil quando temos raízes quadradas envolvendo expressões quadráticas, tipo . Vamos precisar lembrar de algumas identidades trigonométricas e como fazer a substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição trigonométrica adequada para x = a sintheta . Observamos que x = 4sintheta se parece com , onde . Nesse caso, usamos a substituição:
Então, aqui, ficaria:

Passo 3

Com essa substituição, precisamos encontrar dx = 4costheta , dtheta em termos de . Derivando ambos os lados:

Passo 4

Agora, substituímos integral raiz16 - x^2x^2 , dx = integral raiz16 - 16sin^2theta16sin^2theta cdot 4costheta , dtheta e raiz16(1 - sin^2theta) = 4costheta na integral original:
integral 4costheta16sin^2theta cdot 4costheta , dtheta = integral 16cos^2theta16sin^2theta , dtheta = integral cos^2thetasin^2theta , dtheta
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos simplificar cos^2thetasin^2theta = cot^2theta . Sabemos que:
cot^2theta = csc^2theta - 1
E também sabemos que:
integral (csc^2theta - 1) , dtheta = integral csc^2theta , dtheta - integral 1 , dtheta
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, integramos termo a termo:
integral csc^2theta , dtheta = -cottheta + C
integral 1 , dtheta = theta + C
Então, a integral completa é:
-cottheta - theta + C

Passo 7

Agora, precisamos voltar à variável original cottheta = adjacenteoposto = raiz16 - x^2x . Lembrando que theta = arcsin(x4) , podemos desenhar um triângulo retângulo para expressar e em termos de .
No triângulo:
  • O lado oposto a é .
  • A hipotenusa é , então o lado adjacente é .
Então:
E:

Passo 8

Substituindo de volta, temos:
-cottheta - theta + C = -raiz16 - x^2x - arcsin(x4) + C

Resposta

Então, a integral -raiz16 - x^2x - arcsin(x4) + C é igual a:

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