Calcule as seguintes integrais, usando substituição trigonométrica:
(j) integral d x(1+x^2) raiz1-x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral:
integral dx(1 + x^2) raiz1 - x^2
Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente usando substituição trigonométrica. Para isso, vamos precisar identificar uma substituição que simplifique a expressão dentro da integral.

Passo 2

Primeiro, observamos que temos dois termos importantes dentro da raiz e no denominador: x = sintheta e . A presença de sugere que podemos usar uma substituição trigonométrica envolvendo seno ou cosseno, já que .
Vamos fazer a substituição:
Isso simplifica para , já que .

Passo 3

Com dx = costheta, dtheta , precisamos também substituir integral costheta, dtheta(1 + sin^2theta) costheta = integral dtheta1 + sin^2theta . Derivando ambos os lados:
Agora, vamos substituir e na integral original:
A expressão simplificou bastante!

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral:
integral dtheta1 + sin^2theta
Sabemos que integral dtheta1 + sin^2theta = integral 2, dtheta3 - cos(2theta) , então:
2raiz8tan^-1(tanthetaraiz2) + C = 1raiz2tan^-1(tanthetaraiz2) + C
Essa integral pode ser resolvida usando uma identidade trigonométrica ou tabela de integrais, resultando em:

Passo 5

Agora, voltamos à variável original tantheta = xraiz1 - x^2 . Sabemos que 1raiz2tan^-1(xraiz1 - x^2raiz2) + C = 1raiz2tan^-1(xraiz2(1 - x^2)) + C , então:
Substituindo na expressão:

Resposta

A integral é igual a:
1raiz2, tan^-1( xraiz2(1 - x^2) ) + C

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