Calcule as seguintes integrais que envolvem potências de funçōes trigonométricas:
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos lidando com potências de funções trigonométricas, especificamente seno e cosseno. Para resolver isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas e talvez uma substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que pode ser reescrito usando a identidade trigonométrica: . Isso pode nos ajudar a simplificar a integral.

Passo 3

Substituindo na integral, temos:
Isso pode ser separado em duas frações:
Simplificando cada termo:

Passo 4

Agora, precisamos lembrar que , então . Sabemos que a integral de é . Mas para , vamos usar uma técnica de integração por partes ou uma identidade trigonométrica adicional.

Passo 5

Usando a identidade , podemos reescrever a integral:
Distribuindo:
A primeira integral já sabemos que é . Para a segunda, podemos usar uma substituição.

Passo 6

Vamos fazer a substituição , então . A segunda integral fica:

Passo 7

Então, voltando, temos:
Agora, lembrando da nossa expressão original:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
(v)
Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
§
Calcule as seguintes integrais que envolvem potências de funçōes trigonométricas:
(f) .
Calcule as seguintes integrais, usando substituição trigonométrica:
(a)