Calcule as seguintes integrais que envolvem potências de funçōes trigonométricas:
(a) integral sen^2(x)cos ^4(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos lidando com potências de funções trigonométricas, especificamente seno e cosseno. Para resolver isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas e talvez uma substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que pode ser reescrito usando a identidade trigonométrica: . Isso pode nos ajudar a simplificar a integral.

Passo 3

Substituindo na integral, temos:
integral 1 - cos^2(x)cos^4(x) dx
Isso pode ser separado em duas frações:
integral 1cos^4(x) dx - integral cos^2(x)cos^4(x) dx
Simplificando cada termo:
integral sec^4(x) dx - integral sec^2(x) dx

Passo 4

Agora, precisamos lembrar que , então . Sabemos que a integral de é . Mas para , vamos usar uma técnica de integração por partes ou uma identidade trigonométrica adicional.

Passo 5

Usando a identidade integral sec^4(x) dx = integral sec^2(x)(1 + tan^2(x)) dx , podemos reescrever a integral:
integral sec^2(x) dx + integral sec^2(x)tan^2(x) dx
Distribuindo:
A primeira integral já sabemos que é . Para a segunda, podemos usar uma substituição.

Passo 6

Vamos fazer a substituição integral u^2 du = u^33 = tan^3(x)3 , então . A segunda integral fica:

Passo 7

Então, voltando, temos:
integral sec^4(x) dx = tan(x) + tan^3(x)3 + C
Agora, lembrando da nossa expressão original:
integral sec^4(x) dx - integral sec^2(x) dx = (tan(x) + tan^3(x)3) - tan(x) + C = tan^3(x)3 + C

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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