Calcule as seguintes integrais que envolvem potências de funçōes trigonométricas:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos lidando com potências de funções trigonométricas, especificamente seno e cosseno. Para resolver isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas e talvez uma substituição para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que pode ser reescrito usando a identidade trigonométrica: . Isso pode nos ajudar a simplificar a integral.
Passo 3
Substituindo na integral, temos:
Isso pode ser separado em duas frações:
Simplificando cada termo:
Passo 4
Agora, precisamos lembrar que
, então
. Sabemos que a integral de
é
. Mas para
, vamos usar uma técnica de integração por partes ou uma identidade trigonométrica adicional.
Passo 5
Usando a identidade
, podemos reescrever a integral:
Distribuindo:
A primeira integral já sabemos que é
. Para a segunda, podemos usar uma substituição.
Passo 6
Vamos fazer a substituição
, então
. A segunda integral fica:
Passo 7
Então, voltando, temos:
Agora, lembrando da nossa expressão original:
Resposta
A integral é igual a
, onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
(v)
(v)
Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
§
§
Calcule as seguintes integrais que envolvem potências de funçōes trigonométricas:
(f) .
(f)
Calcule as seguintes integrais, usando substituição trigonométrica:
(a)
(a)