Calcule as seguintes integrais, usando substituição trigonométrica:
(h) integral d x(4 x-x^2)^32

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral usando substituição trigonométrica. Isso faz parte do estudo de integrais envolvendo funções racionais e trigonométricas. Pra resolver, vamos precisar entender como aplicar a substituição trigonométrica para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no que está dentro da raiz: 4x - x^2 = -x^2 + 4x . Vamos reescrever isso pra facilitar:
Podemos completar o quadrado para deixar a expressão numa forma que facilite a substituição trigonométrica.

Passo 3

Completando o quadrado para -x^2 + 4x = -(x^2 - 4x) :
x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4
Agora, completando o quadrado dentro dos parênteses:
-x^2 + 4x = -[(x - 2)^2 - 4] = 4 - (x - 2)^2
Portanto,
4x - x^2 = 4 - (x - 2)^2
Então, a expressão sob a raiz fica:

Passo 4

Agora a integral ficou assim:
integral dx(4 - (x - 2)^2)^32
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Vamos deixar x - 2 = 2 sin theta implies dx = 2 cos theta , dtheta . Assim:
Essa é a substituição trigonométrica que facilita a integral.

Passo 5

Substituindo na integral:
integral 2 cos theta , dtheta(4 - 4 sin^2 theta)^32
Simplificando a expressão dentro da raiz:
4 - 4 sin^2 theta = 4(1 - sin^2 theta) = 4 cos^2 theta
Então, a integral fica:
integral 2 cos theta , dtheta(4 cos^2 theta)^32 = integral 2 cos theta , dtheta8 cos^3 theta = integral 28 cos^2 theta , dtheta = 14 integral sec^2 theta , dtheta

Passo 6

A integral de integral sec^2 theta , dtheta = tan theta + C é bem conhecida:
14 tan theta + C
Então, temos:

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original sin theta = x - 22 . Lembrando que fizemos a substituição tan theta = sin thetacos theta = x - 22raiz4 - (x - 2)^22 = x - 2raiz4 - (x - 2)^2 , então:
Podemos desenhar um triângulo retângulo onde o lado oposto a é e a hipotenusa é 2. Então, o lado adjacente será .
A tangente de é:

Passo 8

Substituindo de volta na expressão da integral:
14 tan theta + C = 14 cdot x - 2raiz4 - (x - 2)^2 + C
Simplificando a raiz novamente:
4 - (x - 2)^2 = 4x - x^2

Resposta

integral dx(4x -x^2)^32 = 14 cdot x - 2raiz4x - x^2 + C

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