Calcule as seguintes integrais, usando substituição trigonométrica:
(h)
(h)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral
usando substituição trigonométrica. Isso faz parte do estudo de integrais envolvendo funções racionais e trigonométricas. Pra resolver, vamos precisar entender como aplicar a substituição trigonométrica para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no que está dentro da raiz:
. Vamos reescrever isso pra facilitar:
Podemos completar o quadrado para deixar a expressão numa forma que facilite a substituição trigonométrica.
Passo 3
Completando o quadrado para
:
Agora, completando o quadrado dentro dos parênteses:
Portanto,
Então, a expressão sob a raiz fica:
Passo 4
Agora a integral ficou assim:
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Vamos deixar
. Assim:
Essa é a substituição trigonométrica que facilita a integral.
Passo 5
Substituindo na integral:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 6
A integral de
é bem conhecida:
Então, temos:
Passo 7
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Lembrando que fizemos a substituição
, então:
Podemos desenhar um triângulo retângulo onde o lado oposto a
é
e a hipotenusa é 2. Então, o lado adjacente será
.
A tangente de
é:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão da integral:
Simplificando a raiz novamente:
Resposta
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(g)
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(m)
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