Calcule as seguintes integrais, usando substituição trigonométrica:
(h)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral usando substituição trigonométrica. Isso faz parte do estudo de integrais envolvendo funções racionais e trigonométricas. Pra resolver, vamos precisar entender como aplicar a substituição trigonométrica para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no que está dentro da raiz: . Vamos reescrever isso pra facilitar:
Podemos completar o quadrado para deixar a expressão numa forma que facilite a substituição trigonométrica.

Passo 3

Completando o quadrado para :
Agora, completando o quadrado dentro dos parênteses:
Portanto,
Então, a expressão sob a raiz fica:

Passo 4

Agora a integral ficou assim:
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Vamos deixar . Assim:
Essa é a substituição trigonométrica que facilita a integral.

Passo 5

Substituindo na integral:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 6

A integral de é bem conhecida:
Então, temos:

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original . Lembrando que fizemos a substituição , então:
Podemos desenhar um triângulo retângulo onde o lado oposto a é e a hipotenusa é 2. Então, o lado adjacente será .
A tangente de é:

Passo 8

Substituindo de volta na expressão da integral:
Simplificando a raiz novamente:

Resposta

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