Calcule as seguintes integrais que envolvem potências de funçōes trigonométricas:
(h)

Passo 1

Beleza! Vamos calcular a integral de . Aqui estamos lidando com integrais que envolvem potências de funções trigonométricas, especificamente o seno elevado à quarta potência. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas que ajudam a simplificar expressões com potências de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica importante para simplificar :
Essa identidade é útil porque transforma o seno ao quadrado em uma expressão com cosseno, que é mais fácil de integrar.

Passo 3

Agora, como temos , podemos escrever isso como . Usando a identidade que mencionamos:

Passo 4

Vamos expandir o quadrado:

Passo 5

Agora, temos:
Precisamos integrar cada termo separadamente.

Passo 6

Primeiro, vamos integrar em relação a :

Passo 7

Em seguida, integramos :

Passo 8

Agora, para integrar , usamos novamente a identidade para o cosseno ao quadrado:
Aplicando isso:

Passo 9

Vamos integrar cada parte:

Passo 10

Agora, somamos todas as integrais que calculamos:
Simplificando os termos semelhantes:

Resposta

A integral de é:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais usando primeiramente o método de substituição e depois, integração por partes:
(a)
Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
(u)
Calcule as seguintes integrais usando a tabela , em seguida, derive seus resultados para conferir as respostas:
(b)
Calcule as seguintes integrais usando a tabela , em seguida, derive seus resultados para conferir as respostas:
(d)