Calcule as seguintes integrais que envolvem potências de funçōes trigonométricas:
(h)
(h)
Passo 1
Beleza! Vamos calcular a integral de
. Aqui estamos lidando com integrais que envolvem potências de funções trigonométricas, especificamente o seno elevado à quarta potência. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas que ajudam a simplificar expressões com potências de funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica importante para simplificar
:
Essa identidade é útil porque transforma o seno ao quadrado em uma expressão com cosseno, que é mais fácil de integrar.
Passo 3
Agora, como temos
, podemos escrever isso como
. Usando a identidade que mencionamos:
Passo 4
Vamos expandir o quadrado:
Passo 5
Agora, temos:
Precisamos integrar cada termo separadamente.
Passo 6
Primeiro, vamos integrar
em relação a
:
Passo 7
Em seguida, integramos
:
Passo 8
Agora, para integrar
, usamos novamente a identidade para o cosseno ao quadrado:
Aplicando isso:
Passo 9
Vamos integrar cada parte:
Passo 10
Agora, somamos todas as integrais que calculamos:
Simplificando os termos semelhantes:
Resposta
A integral de
é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais usando primeiramente o método de substituição e depois, integração por partes:
(a)
(a)
Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
(u)
(u)
Calcule as seguintes integrais usando a tabela
, em seguida, derive seus resultados para conferir as respostas:
(b)
(b)
Calcule as seguintes integrais usando a tabela
, em seguida, derive seus resultados para conferir as respostas:
(d)
(d)