Calcule as seguintes integrais que envolvem potências de funçōes trigonométricas:
(h) integral sen^4(a x) d x

Passo 1

Beleza! Vamos calcular a integral de sen^4(a x) dx. Aqui estamos lidando com integrais que envolvem potências de funções trigonométricas, especificamente o seno elevado à quarta potência. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas que ajudam a simplificar expressões com potências de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica importante para simplificar sen^2(theta):
sen^2(theta) = 1 - cos(2theta)2
Essa identidade é útil porque transforma o seno ao quadrado em uma expressão com cosseno, que é mais fácil de integrar.

Passo 3

Agora, como temos sen^4(a x), podemos escrever isso como (sen^2(a x))^2. Usando a identidade que mencionamos:
sen^4(a x) = (1 - cos(2a x)2)^2

Passo 4

Vamos expandir o quadrado:
(1 - cos(2a x)2)^2 = 1 - 2cos(2a x) + cos^2(2a x)4

Passo 5

Agora, temos:
sen^4(a x) = 14 - 12cos(2a x) + 14cos^2(2a x)
Precisamos integrar cada termo separadamente.

Passo 6

Primeiro, vamos integrar 14 em relação a x:
integral 14 dx = 14x

Passo 7

Em seguida, integramos -12cos(2a x):
integral -12cos(2a x) dx = -12 cdot sin(2a x)2a = -sin(2a x)4a

Passo 8

Agora, para integrar 14cos^2(2a x), usamos novamente a identidade para o cosseno ao quadrado:
cos^2(theta) = 1 + cos(2theta)2
Aplicando isso:
14cos^2(2a x) = 14 cdot 1 + cos(4a x)2 = 18 + 18cos(4a x)

Passo 9

Vamos integrar cada parte:
integral 18 dx = 18x
integral 18cos(4a x) dx = 18 cdot sin(4a x)4a = sin(4a x)32a

Passo 10

Agora, somamos todas as integrais que calculamos:
14x - sin(2a x)4a + 18x + sin(4a x)32a
Simplificando os termos semelhantes:
(14 + 18)x = 38x

Resposta

A integral de sen^4(a x) dx é:
integral sen^4(a x) dx = 38x - sin(2a x)4a + sin(4a x)32a + C
onde C é a constante de integração.

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