Calcule as seguintes integrais usando primeiramente o método de substituição e depois, integração por partes:
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Vamos usar duas técnicas diferentes: o método de substituição e a integração por partes. Para isso, vamos precisar entender como aplicar cada uma dessas técnicas na prática.

Passo 2

Primeiro, vamos usar o método de substituição. Esse método é útil quando a integral pode ser simplificada fazendo uma substituição que torne a expressão mais fácil de integrar.

Passo 3

Vamos fazer a substituição , onde é a função seno hiperbólico. Essa substituição é interessante porque sabemos que , o que vai simplificar a raiz quadrada na integral.

Passo 4

Calculando as derivadas: se , então . Além disso, a integral fica:

Passo 5

Usando a identidade hiperbólica , podemos simplificar a raiz:
Então, a integral se torna:

Passo 6

Sabemos que . Assim, a integral fica:

Passo 7

Integrando cada parte:
onde é a constante de integração.

Passo 8

Voltando à variável original , lembramos que , então . Além disso, . Substituindo de volta:

Passo 9

Agora, vamos resolver a mesma integral usando a integração por partes. A fórmula de integração por partes é:

Passo 10

Escolhemos e . Então, precisamos encontrar e :
Para encontrar , precisamos integrar :
Mas isso nos leva de volta à integral original, sugerindo que a integração por partes não é a melhor abordagem aqui. Portanto, é melhor usar o método de substituição para resolver essa integral.

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

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(b)