Calcule as seguintes integrais usando primeiramente o método de substituição e depois, integração por partes:
(a) integral raiz1+x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral raiz1+x^2 , dx. Vamos usar duas técnicas diferentes: o método de substituição e a integração por partes. Para isso, vamos precisar entender como aplicar cada uma dessas técnicas na prática.

Passo 2

Primeiro, vamos usar o método de substituição. Esse método é útil quando a integral pode ser simplificada fazendo uma substituição que torne a expressão mais fácil de integrar.

Passo 3

Vamos fazer a substituição x = sinh t, onde sinh t é a função seno hiperbólico. Essa substituição é interessante porque sabemos que cosh^2 t - sinh^2 t = 1, o que vai simplificar a raiz quadrada na integral.

Passo 4

Calculando as derivadas: se x = sinh t, então dx = cosh t , dt. Além disso, a integral fica:
integral raiz1 + sinh^2 t cdot cosh t , dt

Passo 5

Usando a identidade hiperbólica cosh^2 t - sinh^2 t = 1, podemos simplificar a raiz:
raiz1 + sinh^2 t = cosh t
Então, a integral se torna:
integral cosh t cdot cosh t , dt = integral cosh^2 t , dt

Passo 6

Sabemos que cosh^2 t = 1 + cosh 2t2. Assim, a integral fica:
integral 1 + cosh 2t2 , dt = 12 integral 1 , dt + 12 integral cosh 2t , dt

Passo 7

Integrando cada parte:
12 t + 14 sinh 2t + C
onde C é a constante de integração.

Passo 8

Voltando à variável original x, lembramos que x = sinh t, então t = sinh^-1 x. Além disso, sinh 2t = 2 sinh t cosh t = 2x raiz1 + x^2. Substituindo de volta:
12 sinh^-1 x + 14 cdot 2x raiz1 + x^2 + C = x raiz1 + x^22 + 12 sinh^-1 x + C

Passo 9

Agora, vamos resolver a mesma integral usando a integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du

Passo 10

Escolhemos u = x e dv = raiz1 + x^2 , dx. Então, precisamos encontrar du e v:
du = dx
Para encontrar v, precisamos integrar dv:
v = integral raiz1 + x^2 , dx
Mas isso nos leva de volta à integral original, sugerindo que a integração por partes não é a melhor abordagem aqui. Portanto, é melhor usar o método de substituição para resolver essa integral.

Resposta

A integral integral raiz1+x^2 , dx é igual a:
x raiz1 + x^22 + 12 sinh^-1 x + C
onde C é a constante de integração.

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