Calcule as seguintes integrais usando primeiramente o método de substituição e depois, integração por partes:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Vamos usar duas técnicas diferentes: o método de substituição e a integração por partes. Para isso, vamos precisar entender como aplicar cada uma dessas técnicas na prática.
Passo 2
Primeiro, vamos usar o método de substituição. Esse método é útil quando a integral pode ser simplificada fazendo uma substituição que torne a expressão mais fácil de integrar.
Passo 3
Vamos fazer a substituição
, onde
é a função seno hiperbólico. Essa substituição é interessante porque sabemos que
, o que vai simplificar a raiz quadrada na integral.
Passo 4
Calculando as derivadas: se
, então
. Além disso, a integral fica:
Passo 5
Usando a identidade hiperbólica
, podemos simplificar a raiz:
Então, a integral se torna:
Passo 6
Sabemos que
. Assim, a integral fica:
Passo 7
Integrando cada parte:
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Voltando à variável original
, lembramos que
, então
. Além disso,
. Substituindo de volta:
Passo 9
Agora, vamos resolver a mesma integral usando a integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
Passo 10
Escolhemos
e
. Então, precisamos encontrar
e
:
Para encontrar
, precisamos integrar
:
Mas isso nos leva de volta à integral original, sugerindo que a integração por partes não é a melhor abordagem aqui. Portanto, é melhor usar o método de substituição para resolver essa integral.
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.
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(u)
(u)
Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
(o)
(o)
Calcule as seguintes integrais que envolvem potências de funçōes trigonométricas:
(h)
(h)
Calcule as seguintes integrais usando a tabela
, em seguida, derive seus resultados para conferir as respostas:
(b)
(b)