Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
(u)
(u)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando integração por partes. Esse método é útil quando temos o produto de duas funções, como aqui:
e
. Vamos precisar aplicar a fórmula de integração por partes várias vezes para simplificar a expressão até conseguirmos integrar completamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher o que será
e o que será
. Geralmente, escolhemos
como a parte que simplifica quando derivada, e
como a parte que podemos integrar facilmente.
Para nossa integral:
Aplicando a fórmula:
Passo 3
Agora, precisamos resolver
usando novamente integração por partes.
Escolhemos:
Aplicando a fórmula:
Substituindo de volta na expressão anterior:
Passo 4
Continuando, resolvemos
por partes.
Escolhemos:
Aplicando a fórmula:
Substituindo de volta:
Passo 5
Agora, resolvemos
por partes.
Escolhemos:
Aplicando a fórmula:
Substituindo de volta:
Resposta
Portanto, a integral de
é:
onde
é a constante de integração.