Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
(u) integral x^4 e^-x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando integração por partes. Esse método é útil quando temos o produto de duas funções, como aqui: e . Vamos precisar aplicar a fórmula de integração por partes várias vezes para simplificar a expressão até conseguirmos integrar completamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher o que será u = x^4 Rightarrow du = 4x^3 , dx e o que será dv = e^-x , dx Rightarrow v = -e^-x . Geralmente, escolhemos integral x^4 e^-x , dx = -x^4 e^-x + 4 integral x^3 e^-x , dx como a parte que simplifica quando derivada, e como a parte que podemos integrar facilmente.
Para nossa integral:
Aplicando a fórmula:

Passo 3

Agora, precisamos resolver u = x^3 Rightarrow du = 3x^2 , dx usando novamente integração por partes.
Escolhemos:
dv = e^-x , dx Rightarrow v = -e^-x
integral x^3 e^-x , dx = -x^3 e^-x + 3 integral x^2 e^-x , dx
Aplicando a fórmula:
integral x^4 e^-x , dx = -x^4 e^-x + 4(-x^3 e^-x + 3 integral x^2 e^-x , dx)
Substituindo de volta na expressão anterior:
= -x^4 e^-x - 4x^3 e^-x + 12 integral x^2 e^-x , dx

Passo 4

Continuando, resolvemos u = x^2 Rightarrow du = 2x , dx por partes.
Escolhemos:
dv = e^-x , dx Rightarrow v = -e^-x
integral x^2 e^-x , dx = -x^2 e^-x + 2 integral x e^-x , dx
Aplicando a fórmula:
integral x^4 e^-x , dx = -x^4 e^-x - 4x^3 e^-x + 12(-x^2 e^-x + 2 integral x e^-x , dx)
Substituindo de volta:
= -x^4 e^-x - 4x^3 e^-x - 12x^2 e^-x + 24 integral x e^-x , dx

Passo 5

Agora, resolvemos u = x Rightarrow du = dx por partes.
Escolhemos:
dv = e^-x , dx Rightarrow v = -e^-x
integral x e^-x , dx = -x e^-x + integral e^-x , dx = -x e^-x - e^-x
Aplicando a fórmula:
integral x^4 e^-x , dx = -x^4 e^-x - 4x^3 e^-x - 12x^2 e^-x + 24(-x e^-x - e^-x)
Substituindo de volta:
= -x^4 e^-x - 4x^3 e^-x - 12x^2 e^-x - 24x e^-x - 24 e^-x + C

Resposta

Portanto, a integral de integral x^4 e^-x , dx = -e^-x (x^4 + 4x^3 + 12x^2 + 24x + 24) + C é:
onde é a constante de integração.

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