Calcule as seguintes integrais usando a tabela e, em seguida, derive seus resultados para conferir as respostas:
(b) integral(3 x^2+5)^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral(3 x^2+5)^3 dx. Aqui, estamos lidando com funções polinomiais e vamos usar a técnica de substituição para simplificar a integral. Precisamos identificar uma parte da função que, quando derivada, aparece na integral, facilitando assim a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos chamar u = 3x^2 + 5. Isso porque a derivada de u em relação a x será uma parte que aparece na expressão original.

Passo 3

Calculamos a derivada de u em relação a x:
dudx = 6x
Ou seja, podemos rearranjar para obter dx em termos de du:
dx = du6x

Passo 4

Agora, substituímos u e dx na integral original:
integral(3 x^2+5)^3 dx = integral u^3 cdot du6x

Passo 5

Observamos que ainda temos um x na expressão, mas lembramos que u = 3x^2 + 5. Podemos resolver isso para x^2:
x^2 = u - 53
Então, x = raizu - 53, mas isso complica mais a integral. Parece que precisamos de uma técnica diferente.

Passo 6

Na verdade, percebemos que a substitui��ão anterior não foi a mais eficiente. Vamos tentar outra abordagem usando a regra da potência para integrar diretamente. A integral de (ax^2 + b)^n pode ser resolvida expandindo ou usando substituição adequada. Vamos expandir a expressão:
(3x^2 + 5)^3 = sumk=0^3 binom3k (3x^2)^k (5)^3 - k
Calculando os termos:
= (3x^2)^3 + 3(3x^2)^2(5) + 3(3x^2)(5)^2 + 5^3
= 27x^6 + 135x^4 + 225x^2 + 125

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 27x^6 dx = 27 cdot x^77 = 277x^7
integral 135x^4 dx = 135 cdot x^55 = 27x^5
integral 225x^2 dx = 225 cdot x^33 = 75x^3
integral 125 dx = 125x

Passo 8

Somando todos os resultados:
277x^7 + 27x^5 + 75x^3 + 125x + C

Resposta

A integral integral(3 x^2+5)^3 dx é igual a:
277x^7 + 27x^5 + 75x^3 + 125x + C

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